6.1 平方根(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年七年级下册数学高频易错重难点培优讲义（人教版）

6.1 平方根 ( 板块一：知识精讲 ) 1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． ( 板块二：典题精练 )（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 一．选择题（共10小题） 1．已知|m﹣2|0，则代数式2m+n的值是（　　） A．5 B．3 C．2 D．﹣1 2．已知实数m，n满足|n﹣2|＝0，则m+2n的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．1 3．49的平方根是（　　） A．±7 B．7 C．± D． 4．9的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±81 5．下列说法正确的是（　　） A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10 C．﹣10是100的一个平方根 D．﹣1的平方根是﹣1 6．若，则a的值为（　　） A．2 B．16 C．﹣16 D．±16 7．实数4的算术平方根是（　　） A． B．± C．2 D．±2 8．4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 9．2023的算术平方根是（　　） A．2023 B． C．± D． 10．7的平方根是（　　） A． B．±7 C． D． 二．填空题（共6小题） 11．22的平方根是 　 　． 12．若|m+3|和互为相反数，则mn的值为 　 　． 13．5的平方根是 　 　． 14．已知正实数x的平方根为a和a+b． （1）当b＝6时，x的值为 　 　； （2）若a2x+（a+b）2x＝8，则x的值为 　 　． 15．已知实数x，y满足（y+1）2＝0，则x+y等于 　 　． 16．请写出一个正整数n，使得是整数，n＝　 　． 三．解答题（共8小题） 17．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，　 　． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 18．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 19．一个正数x的两个平方根分别是﹣a+2与2a﹣1，求a和正数x的值． 20．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 　 　． 21．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与2a﹣11． （1）求a及m的值； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 22．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式t2来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径，如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续