第08讲 复数的三角表示（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第08讲 复数的三角表示（精讲） ①将复数的代数形式表达为三角形式（求辐角主值） ②将复数的三角形式表达为代数形式 ③复数乘、除运算的三角表示 ④复数乘、除运算的三角表示的几何意义 一、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）复数的俯角 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即. 二、复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化. 复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限； ③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． 三、三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 知识点1：复数三角形式的乘法 设，的三角形式分别是：，，则 简记为 ：模数相乘，辐角相加 四、复数乘法的几何意义 两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义. 五、复数三角形式的除法及其几何意义 （1）复数三角形式的除法 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为 ：模数相除，幅角相减 （2）复数除法的几何意义 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 六、复数的乘方及其几何意义 利用复数的乘法不难得到. 这说明,复数的次方等于它模的次方,幅角的倍. 的几何意义是将向量的模变为原来的次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角,就得到对应的向量. 题型一：将复数的代数形式表达为三角形式（求辐角主值和模） 解题策略 将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式 z=r(cos θ+isin θ)(r>0),可按如下步骤进行 (1)画图,并标出r和θ. (2)求θ和r,其中r=,cos θ=,sin θ=. (3)写出复数z的三角形式. (4)类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连. 【例1】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是三角形式，化为三角形式为； (2)不是三角形式，化为三角形式为； (3)不是三角形式，化为三角形式为； (4)是三角形式. 【分析】直接利用复数的三角形式求解即可. 【详解】（1）不是三角形式， ， 其中，故三角形式为； （2）不是三角形式， ， 其中，故三角形式为； （3）不是三角形式， ， ，故三角形式为； （4）是三角形式. 一、单选题 1．（2024下·高一课时练习）复数的辐角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024下·全国·高一专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 3．（2024下·全国·高一专题练习）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024下·全国·高一专题练习）把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024下·全国·高一专题练习）的辐角主值为（    ）． A． B． C． D． 6．（2024下·全国·高一专题练习）设复数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024下·全国·高一专题练习）下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（2024下·全国·高一专题练习）如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（    ） A．辐角唯一 B．辐角主值唯一 C．辐角主值为 D．辐角主值为 9．（2024下·全国·高一专题练习）以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2024下·全国·高一专题练习）复数的三角形式为 ． 11．（2024下·全国·高一专题练习）写出复数的三角形式是 ．（辐角