第五章 3 垂径定理（2）(夹册)(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(鲁教版五四制)

年级下册·鲁教版 数学 第五章　圆 3　垂径定理（2） 阅读理解　新定义：在同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦. （1）如图所示，AB，AC是☉O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形. 解：（1）证明：∵AB，AC是☉O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是矩形. ∵AB，AC是☉O的等垂弦，∴AB＝AC. ∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AE＝AD，∴矩形ADOE是正方形. 又∵OA＝OD，∴Rt△AHO≌Rt△DGO（HL），∴OH＝OG， 解：（2）若点P在☉O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，如图①所示. （2）已知☉O的半径为10，AB，CD是☉O的等垂弦，P为等垂点.若AP＝3BP，求AB的长. ∵AB，CD是☉O的等垂弦，∴AB＝CD，AB⊥CD， ∴四边形OHPG是矩形. ∵OH⊥AB，OG⊥CD， ∴AH＝AB，DG＝CD，∠AHO＝∠DGO＝90°，∴AH＝DG. ∴矩形OHPG为正方形，∴OH＝HP. ∵AP＝3BP，且AH＝BH，∴AH＝2BP＝2HP＝2OH. 在Rt△AOH中，AO2＝AH2＋OH2， 即（2OH）2＋OH2＝AO2＝100，解得OH＝2，∴HP＝2，∴AB＝4HP＝8. 若点P在☉O外，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，如图②所示. 同理，AH＝2，则AB＝2AH＝4，∴AB＝8或4. $$