组合与组合数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.3 组合 6.2.3 组合 一、复习引入 1.排列的定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. 2.排列数的定义: 3.排列数的计算: (1)排列数公式(1): (2)全排列数: (3)排列数公式(2): (4)常见题型: 1、特殊元素、特殊位置优先考虑 2、捆绑法 3、插空法 4、定序法 5、圆环问题 2 二、探究新知 例1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动,有多少种不同的选法? 甲乙、甲丙、乙丙, 共有3种. 追问1:如果把上面问题中被选出的对象叫做元素,那么你会表述例1吗? 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组 例2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列. 追问2:这两个问题有何不同? 这里每一组与顺序无关,我们把这种问题称为组合问题. 组合问题 组合与元素顺序无关 排列问题 排列与元素顺序有关 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙,共有=6种. 二、探究新知 1.组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素做成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注意: (1)组合的特点:组合要求n个元素是不同的,取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性:元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序,即元素没有位置的要求. 问题2:你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗? 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 二、探究新知 组合定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列定义: 排列、组合的联系与区别: 排列 组合 相同点 不同点 完成这件事情共分几步 从n个不同元素中取出m个元素 元素的顺序有关 元素的顺序无关 第一步、取 第二步、排 仅一步、取 组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙,乙甲 甲丙,丙甲 乙丙,丙乙 排列 问题1和问题2中“排列”和“组合”的对应关系: LOGO 5 三、微体验 例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题. (1) 从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个? (2) 从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个集合,这样的集合有多少个? (3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛? (4) 10支球队进行单循环赛,冠、亚军获得情况共有多少种? 变式1 判断下列事件是排列问题还是组合问题. (1) 从10个人里选3个代表去开会,有多少种选法? (2) 从10个人里选出3个做不同学科的课代表,有多少种选法? (3) 有10个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票? (4) 有10个车站,共需要多少种不同的票价? (5) 设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个? (6) 3人去干5种不同的工作,每人干1种,有多少种分工方法? (7) 把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法? (8) 10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次? (1)组合 (2) 排列 (3) 排列 (4)组合 (5)组合 (6) 排列 (7)组合 (8)组合 7 变式2 从5个不同的元素a,b,c,d,e中取出2个,写出所有不同的组合. 例2 平面内有A,B,C,D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 进一步地,能否从这种对应关系出发,由排列数求出组合的个数? 结论:取出2个元素的组合的个数是排列数的一半. 追问3:利用排列和组合之间的关系,以“元素相同”为标准分类,你能建立起例2(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗? 问题3:校门口停放着9辆共享自行车,其中黄色、红色和绿色的各有3辆. 下面的问题是排列问题,还是组合问题? (1) 从中选3辆,有多少种不同的方法? (2) 从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法? 10 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方; (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 课堂练习 2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3