2024年苏科版中考数学一轮复习课件：二次函数的综合应用

第三单元　函　数 第16课时　二次函数的综合应用 考点一　二次函数与线段问题 典例1 （2023·苏州）如图，二次函数y＝x2－6x＋8的图像与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴.点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与☉M相切，切点为T. 典例1图 （1） 求点A，B的坐标； 解：（1） 令y＝0，则x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.∴ A（2，0），B（4，0）. （2） 若以☉M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且☉M不经过点（3，2），求PM长的取值范围. 　 解：（2） ∵ y＝x2－6x＋8＝（x－3）2－1，∴ 二次函数图像的对称轴为直线x＝3.设P（m，m2－6m＋8），m＞4.∵ PM⊥l，∴ M（3，m2－6m＋8）.∴ PM＝m－3，PM＞1.连接MT.∵ PT与☉M相切，∴ MT⊥PT. ∴ PT2＝PM2－MT2＝（m－3）2－r2，即以切线长PT为边长的正方形的面积为（m－3）2－r2.过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则S△PAB＝AB·PH＝m2－6m＋8. ∴ （m－3）2－r2＝m2－6m＋8，解得r＝±1.∵ r＞0，∴ r＝1.假设☉M经过点N（3，2），则有两种情况：① 如图①，当点M在点N的上方时，∴ M（3，3）.∴ m2－6m＋8＝3，解得m＝5或m＝1.∵ m＞4，∴ m＝5.∴ PM＝5－3＝2.② 如图②，当点M在点N的下方时，∴ M（3，1）. ∴ m2－6m＋8＝1，解得m＝3±.∵ m＞4，∴ m＝3＋.∴ PM＝3＋－3＝.综上所述，当☉M不经过点（3，2）时，PM长的取值范围是1＜PM＜ 或＜PM＜2或PM＞2. 考点二　二次函数与三角形的结合 典例2 （2023·无锡梁溪模拟）如图，二次函数y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）的图像与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），它的对称轴l与图像交于点P，直线OP对应的函数表达式为y＝2x. 典例2图 （1） 请直接写出点P的坐标. 解：（1） 抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）的对称轴为直线x＝－＝－1，∴ 点P的横坐标为－1.∵ 直线OP对应的函数表达式为y＝2x，∴ P（－1，－2）.　 ② 若M为直线l上的点，且以M，B，Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围. （2） 若△PAB为直角三角形，设直线OP与这个二次函数图像的另一个交点为Q. ① 求a，c的值与点Q的坐标； 解：（2） ① 由抛物线的对称性，可知PA＝PB， ∴ △PAB是等腰直角三角形.设对称轴与x轴交于点E，则PE＝2.∴ 易得AE＝BE＝PE＝2.∴ A（－3，0），B（1，0）.∴ 9a－6a＋c＝0，a＋2a＋c＝0，a－2a＋c＝－2，解得a＝，c＝－.∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋x－.由y＝x2＋x－，y＝2x，解得x＝－1，y＝－2或x＝3，y＝6.∴ Q（3，6）. ② 由题意，可知M（－1，t）.∵ B（1，0），Q（3，6），∴ BM2＝（－1－1）2＋t2＝4＋t2，BQ2＝（3－1）2＋62＝40，MQ2＝（3＋1）2＋（6－t）2＝t2－12t＋52.当△BQM为直角三角形时，分三种情况：当∠MBQ为直角时，BM2＋BQ2＝MQ2，即4＋t2＋40＝t2－12t＋52，解得t＝；当∠BQM为直角时，BQ2＋MQ2＝BM2，即40＋t2－12t＋52＝4＋t2，解得t＝；当∠BMQ为直角时，BM2＋MQ2＝BQ2，即4＋t2＋t2－12t＋52＝40，解得t＝2或t＝4.∴ 当△BMQ为锐角三角形时，t的取值范围是＜t＜2或4＜t＜. 考点三　二次函数与四边形的结合 典例3 （2023·扬州）在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上. （1） 已知四个点（0，0），（0，2），（1，1），（－1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图像上. ① a＝ 　1　⁠. 1　 典例3图 ② 如图①，菱形ABCD的顶点B，C，D在该二次函数的图像上，且AD⊥y轴，求菱形的边长. ③ 如图②，正方形ABCD的顶点B，D在该二次函数的图像上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究n－m是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由. 典例3图 解：（1） ② 设BC交y轴于点E.由①，知y＝x2.设菱形ABCD的边长为2t，则AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝2t.∵ AD⊥y轴，∴ BC⊥y轴.∴ 易得点B，C关于y轴对称. ∴ BE＝CE＝t.∴ B（－t，t2）.∴ OE＝t2. ∵ A