2024年苏科版中考数学一轮复习课件 ：二次函数的图像和性质（二）

第三单元　函　数 第13课时　二次函数的图像和性质（二） 二次函数的图像和性质（二） 二次函数的图像和性质（二） 二次函数的图像和性质（二）—二次函数与方程、不等式的关系 考点一　二次函数的各项系数与图像之间的关系 典例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，有下列结论：① a＞0；② b2－4ac＞0；③ 4a＋b＝1；④ 关于x的不等式ax2＋（b－1）x＋c＜0的解集为1＜x＜3.其中，正确的个数是（　C　） C 典例1图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 典例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … －1 1 … y … －1 3 … 有下列结论：① b＝2；② 二次函数的图像与x轴总有两个公共点；③ 若a＜0，则二次函数图像顶点的纵坐标的最小值为3；④ 若当自变量x的值满足－1≤x≤1时，与其对应的函数值y随x的增大而增大，则0≤c≤2.其中，正确的是（　A　） A A. ①②③ B. ②③④ C. ①② D. ①③④ 考点二　求二次函数的表达式 典例3 （2023·南京三模）已知二次函数的图像经过A（0，－6），B（－1，－5），C（m，m）三点. （1） 若A为该函数图像的顶点，求二次函数的表达式； 解：（1） 由题意，可设二次函数的表达式为y＝ax2－6.把B（－1，－5）代入，得a－6＝－5，解得a＝1.∴ y＝x2－6.　 （2） 若该函数图像的对称轴为直线x＝－3，求m的值； 解：（2） 由题意，可设二次函数的表达式为y＝b（x＋3）2＋k.把A（0，－6），B（－1，－5）代入，得9b＋k＝－6，4b＋k＝－5，解得b＝－，k＝－.∴ y＝－（x＋3）2－.把C（m，m）代入，得m＝－（m＋3）2－，解得m＝－5或m＝－6.　 （3） 若抛物线开口向上，当－1＜x＜0时，y随x的增大而减小，结合图像，直接写出m的取值范围. 解：（3） 由题意，可得抛物线的对称轴为y轴或在y轴右侧，C（m，m）即为直线y＝x与抛物线的交点.当抛物线的对称轴为y轴时，抛物线的顶点为（0，－6），且过点（－1，－5），∴ y＝x2－6.当y＝x时，x＝x2－6，解得x＝－2或x＝3，∴ 结合图像，m的取值范围是m≤－2或m≥3. 典例4 （2023·苏州姑苏一模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3，抛物线的顶点P的坐标为（m，n）. （1） 若函数图像经过点（1，0），对称轴是过点（－2，0）且垂直于x轴的直线，求a，b的值和顶点P的坐标； 解：（1） ∵ 函数图像经过点（1，0），对称轴是过点（－2，0）且垂直于x轴的直线，∴ a＋b＋3＝0，－＝－2，解得a＝－，b＝－. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－x2－x＋3.∵ y＝－x2－x＋3＝－（x＋2）2＋，∴ 顶点P的坐标为. （2） 若a＝1，－1＜b＜2，求n关于m的函数表达式，并直接写出n的取值范围； 解：（2） ∵ a＝1，∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋bx＋3.∵ 抛物线的顶点P的坐标为（m，n），∴ m＝－，n＝.∴ b＝－2m，n＝－m2＋3.∵ －1＜b＜2，∴ －1＜－2m＜2，解得－1＜m＜.∵ 在n＝－m2＋3中，－1＜0，函数图像的对称轴为直线x＝0，∴ 易得当－1＜m＜时，n的取值范围是2＜n≤3.　 （3） 若b＝2，直接写出抛物线的顶点P与原点O的距离的最小值. 解：（3） ∵ b＝2，∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋2x＋3.∴ m＝－＝－.∴ n＝a·－＋3＝－＋3＝m＋3.∴ P（m，m＋3）. ∴ OP2＝m2＋（m＋3）2＝2＋.∴ OP2的最小值为，即顶点P与原点O的距离的最小值为. [方法归纳] 二次函数表达式的三种形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c；顶点式：y＝a（x－h）2＋k；交点式（与x轴有交点时）：y＝a（x－x1）（x－x2）.用待定系数法求二次函数的表达式时，要注意二次函数表达式的三种形式的联系与区别，根据题意选择合适的二次函数表达式的形式来求解. 考点三　二次函数与一元二次方程的关系 典例5 （2023·南京玄武三模）已知二次函数y＝mx2－2（m＋1）x＋4（m为常数，且m≠0）. （1） 求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； 解：（1） 令y＝0，则mx2－2（m＋1）x＋4＝0.∵ b2－4ac＝[－2（m＋1）]2－4m×4＝4m2－8m＋4＝4（m－1）2≥0，∴ 方程总有实数根. ∴ 不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.　 （2） 不论m为何值，该函数的图像都会经过两个定点，求两个定点的坐标. 解：（2） y＝mx2－2（m＋1）x＋4＝（x－2）（mx－