2024年苏科版中考数学一轮复习课件：一元二次方程及其应用

第二单元　方程、不等式及其应用 第8课时　一元二次方程及其应用 一元二次方程及其应用 一元二次方程及其应用 考点一　一元二次方程根的定义 典例1 （2022·连云港）若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m＋n的值是 　1　⁠. [误区警示] 对于这类问题可根据方程根的定义直接代入方程，得到含有字母的方程，解之或适当变形即可.当二次项系数为字母时，要注意求出的字母的值要满足二次项系数不为0. 1　 考点二　一元二次方程的解法 典例2 解方程： （1） （2023·无锡）2x2＋x－2＝0； 解：x1＝，x2＝. （2） x（x－6）＝－4（x－6）. 解：x1＝6，x2＝－4. 考点三　一元二次方程根的判别式 典例3 （2023·扬州）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　k＜1　⁠. [误区警示] 一元二次方程有实数根的条件是b2－4ac≥0，从而列出有关的不等式，还应分清一元二次方程有两个不相等的实数根与有两个实数根的区别. k＜1　 考点四　一元二次方程根与系数的关系 典例4 如果关于x的方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，那么x1＋x2－x1·x2的值为 　2　⁠.　 2　 典例5 （2023·盐城二模）问题： 已知实数a，b，c满足a≠b，且2023（a－b）＋（b－c）＋（c－a）＝0，求证：－＝2023. 小明在思考时，感觉无从下手，就去请教小刚，小刚审题后思考了片刻，对小明说：“我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答.”并写下了部分解题过程供小明参考： 令＝x，则2023＝x2. 原等式可变形为关于x的一元二次方程： （a－b）x2＋（b－c）x＋（c－a）＝0（a≠b）.可以发现：（a－b）×12＋（b－c）×1＋（c－a）＝0. 可知构造的方程的两个根分别是1和.利用根与系数的关系得：1＋＝ 　　　　⁠；1×＝ 　　　　⁠. 请你根据小刚的思路完整地解答本题. 解：令＝x，则2023＝x2.原等式可变形为关于x的一元二次方程：（a－b）x2＋（b－c）x＋（c－a）＝0（a≠b）.∵ 当x＝1时，（a－b）×12＋（b－c）×1＋（c－a）＝0，∴ x＝1为一元二次方程（a－b）x2＋（b－c）x＋（c－a）＝0的根，即方程两个根分别是1和.根据根与系数的关系，得1＋＝－＝，1×＝， ∴ －＝·－＝（1＋）×（1×）－＝＋2023－＝2023. 考点五　一元二次方程的实际应用 典例6 （2023·盐城滨海模拟）某服装销售商用48000元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价比第一次的贵10元. （1） 该销售商第一次购进了这种服装多少件？每件进价多少元？ 解：（1） 设该销售商第一次购进了这种服装x件.由题意，得＋10＝，解得x＝200.经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意.∴ 48000÷200＝240（元）.∴ 该销售商第一次购进了这种服装200件，每件进价240元. （2） 该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则每天多卖出20件.依此行情，该销售商卖第二批服装时，让利促销，若要使一天的利润恰好为3600元，则每件销售价应定为多少？ 解：（2） 设每件销售价定为t元，则每天销售量为80＋×20＝（680－2t）件.由题意，得[t－（240＋10）]×（680－2t）＝3600，即t2－590t＋86800＝0，解得t1＝280，t2＝310.∵ 让利促销，∴ t＝280.∴ 每件销售价应定为280元. 典例7 （2023·泰州姜堰二模）如图，用总长48m的篱笆依墙（墙足够长）围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块矩形区域的面积相等. 典例7图 （1） 的值为 　2　⁠，的值为 　2　⁠； （2） 当矩形ABCD的面积为108m2时，求BC的长. 解：设EB＝xm，则AE＝2xm，BC＝＝（24－4x）m.根据题意，得（2x＋x）（24－4x）＝108.整理，得x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∴ 24－4x＝12.∴ BC的长为12m. 2　 2　 1. （2023·常州武进模拟）若关于x的一元二次方程（k－2）x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k的值是（　A　） A. －2 B. 2 C. 0 D. －2或2 2. （2022·淮安）若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是（　A　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 A A