第2讲 导数的应用 - 含参数的函数单调性题型归纳 讲义-2024届高三数学一轮复习

寒假讲义 查缺补漏+专题学习 第2讲 导数的应用-含参数的函数单调性 考点一：一次型 例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．讨论的单调性； 例2．（2023·北京·高三）已知函数，讨论函数在区间内的单调性； 考点二：二次型（可因式分解、不可因式分解） 例1．已知函数．讨论当时，单调性． 例2. 讨论 在上的单调性. 例3．（2023春·广东广州·高二广州市白云中学校考期中 指数二次型）已知函数．讨论的单调性； 例4．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数，其中．讨论函数的单调性． 考点三：多次求导型 例1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测 对数型二次求导）已知函数．讨论的单调性； 例2．（广东省揭阳市第三中学高三下学期第三次测试数学（理） 指数型二次求导）已知函数， （1）讨论的单调性； 例3.（多次求导）已知函数，讨论函数的单调性 巩固训练 1．（2023·广东佛山·校联考模拟预测 一次型）已知函数．讨论的单调性； 2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测 一次型）设函数，且．求函数的单调性； 3.（2023·重庆·统考模拟预测 二次不可因式分解）已知函数．讨论函数的单调性； 4.（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测 二次因式分解型）已知函数．求函数的单调区间； 5．（2023·全国·高二专题练习 指数型二次）已知函数，讨论的单调性. 6、（二次求导型）讨论函数 的单调性. 7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中． (1)判断函数的单调性； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假讲义 查缺补漏+专题学习 第2讲 导数的应用-含参数的函数单调性 考点1：一次型 例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．讨论的单调性； 【详解】因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 例2．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，讨论函数在区间内的单调性； 【分析】对进行求导，然后根据是否在定义域内来分类讨论的单调性 【详解】， 令，则 （Ⅰ）当，即时， ，在单调递减 （Ⅱ）当，即时， ，在单调递增 （Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增； 当时，，单调递减 综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减 （Ⅱ）当时，在单调递增 （Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减。 考点2、二次型（可因式分解、不可因式分解） 例1．已知函数．讨论当时，单调性． 【分析】求出的定义域和导数， 因为因式的正负决定导数的正负， 由的对称轴在定义域内，考虑即得为临界值， 所以分和两种情况讨论在相应区间上的符号从而可求出的单调性. 【详解】由题意可知 对于二次函数． 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是， ， 当时，在单调递增； 当时，在和单调递减 综上：当时在单调递减 当时在单调递增； 在和上单调递减． 例2.讨论 在上的单调性. 【详解】由已知, 得 . 因为 , 所以 ,则 (1) 当 时, , 所以 在 上单调递增; (2) 当 时, , 所以 在 上单调递减; (3) 当 时, , 则 , 其中 , 且由 , 知 . 所以 在 单调递减, 在 单调递增. 例3．（2023春·广东广州·高二广州市白云中学校考期中 指数二次型）已知函数．讨论的单调性； 【详解】由题意可得， 当时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增； 当时，，则， 由，得，由，得或， 则在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，，则， 由，得，由，得或， 则在上单调递减，在，上单调递增． 例4．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数，其中．讨论函数的单调性． 【详解】（1）因为，显然， 则， ①当时，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则单调递增， 即当时，在上单调递减，上单调递增； ②当时， 当时，由（1）知在单调递增； 当时，当时，； 当时，； 当时，； 考点三、多次求导型 例1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测 对数型二次求导）已知函数．讨论的单调性； 【分析】求得，发现无法直接因式分解，也无法直接判断导数的正负，故需要构造新函数来判断值域的范围来确定导数的正负； 【详解】由函数，可得， 设，可得， ①当时，，所以在单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 例2．（广东省揭阳市第三中学高三下学期第三次测试数学（