两角和与差的正弦、余弦和正切公式在求值中的应用 复习课教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第一册

两角和与差的正弦、余弦和正切公式在求值中的应用 （成都七中高一数学备课组 ） 1． 教学内容定位 本节课为复习课，内容为人教A版（2019）必修第一册215-219页内容（不涉及二倍角公式），希望学生通过本节课学习能掌握三角变换的基本思路和方法。 2． 教学目标 （1） 知识目标 1. 通过对两角和与差的余弦公式对正弦、正切公式的复习，加强对和差角公式结构的认识； 2. 求值过程中体会三角变换的规律、技巧。 （2） 能力目标 1. 通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想和变换能力； 2. 培养学生思维的有序性、表述的条理性和推理的严密性。 （3） 素养目标 1. 通过对公式推导过程的复习，让学生体会知识间的内在联系； 2. 培养学生用联系、变化的辨证唯物主义观点分析问题； 3. 通过教师启发引导，重视数学消元思想的应用，重视数学核心素养的培养，重视培养学生求知精神和解决问题的能力； 4. 通过对公式结构的观察对比，让学生感受数学公式的简洁美、对称美。 3． 教学重点 1. 两角和与差的正余弦正切公式内在联系与相互推导过程； 2. 三角函数变换的三个角度。 4． 教学难点 1. 灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。 5． 突破方法 1. 利用公式结构图厘清公式的内在联系； 2. 一题多解，让学生体会三角变换的不同角度。 6． 教学过程 （1） 公式回顾 1. 填写公式 教师提问：我们为什么要学习这些公式？ 教师追问：这些公式教材是如何进行推导的？ 2.师生共同完成公式结构图 设计意图：本环节计划用时5min,希望通过这些问题营造氛围，拉近与学生的关系，给学生指明要更多的关注公式的结构和公式之间的推导过程。 （2） 公式运用 1. 热身练习 求值： 教学预设：学生“把写成，再将其代入原式中，利用两角和的正弦公式展开即可得到答案”。 教师点评：板书，这个等式很好的体现了角之间的关系，从而达成消元进而求值。 教师追问：若把写成，可以求解吗？ 教师点评：方法的本质是一样，但计算过程略复杂，因为就是两角和（差）正弦公式展开的一部分。 设计意图：公式使用时让学生养成观察公式结构的习惯。 2. 回归教材 （改编自P217练习第3题）已知，且，求的值 教学预设：学生大致会呈现两种做法“直接利用两角差的正弦公式展开”和“利用角的关系通过已知角构造目标角再展开”，让学生分别作展示，同时让其说思路，教师追问后，学生归纳，教师总结。 做法1： 教师追问：为什么没有把答案算出来？ 教师点评：“是两个变量，但是这里只有一个方程，显然是解不出来的。 可以利用，联立消元求解。 教师总结：一种是展开已知角，局部使用和差公式，再利用方程的思想求解目标角；另一种是利用已知角和目标角的关系去构造，然后整体使用和差公式，那么我们在处理这类问题的时候还是更应该关注角的关系。 设计意图：两种解法作对比，让同学们清楚给值求值问题首先还是要关注角的关系，也就是用已知角和特殊角来表示目标角。 （源自P219例4第（3）小题）尝试用多种方法求值. 教学预设：学生会给出如下三种做法 解法1： 教师追问：是如何想到的？（正切公式的结构） 解法2： 教师追问：用到了那些变换方法？（切化弦，常数代换，逆用公式） 教师点评：利用常数构造某个特殊角的三角函数值，再逆用公式，其实就是在围绕公式的结构进行变换。 解法3：直接利用或者，将原式利用和差公式展开。 教师点评：这就是观察角的关系后公式的直接使用。 设计意图：此环节预计用时15min，通过这三个题目的设置，让学生意识到这道题看起来很普通,深入探究后,我们不难发现这道题的3种解法几乎能用遍所有和差公式，同角三角函数的基本关系，包含变角、变函数名两个基本思路，囊括了所有1的妙用、凑配角度、公式逆用等技巧，以及很多常用特殊角。 3. 能力进阶 上题教材上的解法为 变形后我们可以得到 你能否自己命制一些类似的题目？这类题目有何特点？ 教学预设：学生可能会命制如下题目 1. 2.= 3.证明在非直角三角形ABC中， 4.证明在非直角三角形ABC中， 5.求证 教师提问：这些式子的结构有何特点？（每一个式子都含有正切和（差）与正切积） 教师追问：可以采用什么方法处理这一类问题？（两角和（差）的正切公式展开，再代入原式中消去或） 设计意图：通过设置命题活动，让同学们对正切公式及其变形的应用有更深刻的体会，前边的活动是变角变名，这里是变形。 （3） 拓展应用 证明：在非直角中， 教学预设：学生利用两角和的正切公式展开。 教师追问：你是如何想到的？（观察到角的关系即和式子的结构：左侧有，右侧有） 设计意图：以上两个环节预计用时15min，通过交流和命题活动，让同学们更灵活的应用公式，对公式的