立体几何中的截面问题 讲义-2024届高三数学一轮复习

截面问题 类型一.判断截面图形的形状以及截面面积和周长的计算 (一)截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的具体步骤 找截点:方式1:延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2:过一截点作另外两截点连线的平行线,交几何体的棱于截点 连截线:连接同一平面内的两个截点,成截线 围截面:将各截线首尾相连,围成截面 (二)作截面的几种方法 直接法:有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 延长线法:同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 平行线法:过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 例如:如图,为中点,作平面截正方体所得的截面. 方法一:相交法方法 二:平行线法 类型二.正方体中的基本截面类型 【典型例题】 1.（2021·湖南衡阳·校联考二模）(多选)用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（    ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABC 【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形； 截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为五边形时，不可能出现正五边形； 截面为六边形时，可能出现正六边形， 故选：ABC． 2.（2022下·北京·高一北京二中校考阶段练习）如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 【答案】①②④ 【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点， 所以∥， 所以四边形为S，其中， 所以S为等腰梯形，①正确； 当时，S与的交点满足，理由如下： 如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R， 取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN， 则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE， 所以四边形AEQP即为S，其中， 所以，所以，②正确； 当时，S为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动， 则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G， EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误； 当时，S的面积为，理由如下： 如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ， 其中，所以S为菱形APQG， 且，S的面积为，④正确. 故答案为：①②④ 3.（2018上·重庆江津·高二统考期末）正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示， 由，可得， 由，则，解得，则， 在直角中，，则， 在直角中，，则， 在直角中，，则， 在中，， 由余弦定理可得， 即， 所以截面的周长为，故选B. 4.（2021下·高一课时练习）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ） A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定 【答案】B 【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知， ∴为平行四边形. 故选：B 5.（2023·湖南郴州·校联考二模）在正四棱台中，，，为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，下列说法正确的有（    ） A．该正四棱台的高为2 B．该正四棱台的体积为224 C．平面截该正四棱台的截面面积是 D．该正四棱台的内切球半径为1 【答案】AC 【详解】将正棱台补为如下图的棱锥，令，    由，为棱的中点，所以， 棱锥高，则小棱锥高， 棱台的体积，令，则， 所以且，则， ，，即递增，，，即递减， 所以，即时棱台体积最大，此时棱台的高，A对； 棱台体积为，B错； 棱台斜高为，则其平行于且垂