第五讲　构造具体函数关系式　讲义——2024届高三数学二轮复习微专题

第五讲：构造具体函数关系式 【方法总结】 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题， 【例题选讲】 [例1刂(1)(2020全国I)若22+1og2a=4+21logb,则( A.a2b B.a<2b C.ab2 D.a<b2 答案B解析由指数和对数的运算性质得2十1og2a=4中+2logb=22b十logb.令x)=2x+logx,则f x)在(0，+o)上单调递增.又：226十10gb225+10gb十1=22h+1og(2b),,∴，20+l0g2a225+10g2(2b),即f (@)2b),∴.a2b.故选B. (2)(多选)若0x2<1,则(） A.x1+Inx2>x2+Inx1 B.x1+Inx22+Inxi C.re>re D.xe<x e 答案AC解析令x)=x-lr,∴fx)=1一1x=x-1x,当01时，fx0,fx)在(0,1)上单调递 减.0x2<1,∴x)f),即-h2一lm,即1十nr2x2十m1.设gx)=exx,则g'(x)=xex一exx2 =eX-12.当01时，80，即g在0，D上单调递减，011，∴gg.即g三g 无2 ,.xe>xe,故选AC. (3)(多选)若实数22，则下列不等式中一定成立的是() A.(a+1+2(a+2y+1 B.log (a++1)log+1(a+2) C.log (a+1)<a+la D.log+(a+2)<a+2a+1 答案ABD解析若A成立，则(a+1)+2(a+2y+1,两边取自然对数，得(a+2ln(a+1)(a+1)ln(a+2), 因为a22,所以n(a+1)a十1>n(a+2a+2.令x)=lnxx,则x之3，fx)=1-lnxx2<0,故fx)在[3，十o)上 单调递减，所以ln(a+1)a+1n(a+2a+2,故A成立：若B成立，则log.(a+I)>log+1(a+2),即ln(a+ 1)Ina-In(a+2)In(a+1),g()=In(x+1)Inx,x2,g')=InxIn(x+IxInx=xInx-(x+1)In(x+1)x(x+1) dnx)2,令hx)=xl,x22,则h'x)=nr十1>0，故hx)在[2，+o)上单调递增，所以xlnr一x+1)n(x+1) <0,所以g'x)<0,故gx)在[2，十o)上单调递减，所以n(a+1)na>n(a+2n(a+1),故B成立；若C成立. 则log(a十1)a+la,即ln(a十1)a十1lnaa,由A知x)=lnx在2，c)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 取a=2,故C不成立：若D成立，则log+(a十2)a+2a+1,即ln(a+2)a+2ln(a+1)a+1,由A知D成 立，故选ABD. (4)(2021全国乙)设a=2nl.01,b=1nl.02,c=1.04-1,则( A.a<b<c B.b<c<a C.bsa<c D.c<a<b 答案B解析b-c=lnl.02-1.04+1,设fx)=nc+1)-1+2x+1,则b-c=0.02),fx)=1x+1-22 1十2x=,当x>0时，x+1=e十)2>1十2x,故当>0时，fx)=0,所以fx)在(0，十o)上单谓递减， 所以0.02)0)=0，即b<c.a-c=2n1.01-1.04+1,设gx)=2nx+1)-1+4x+1,则a-c=g0.01) gx)=2x十1-421+=1+-e+1+1)1+,当02时，4红+1=2x+2x+1x2+2x+1 在十1)2=x+1,故当02时，gx)>0,所以gx)在(0,2)上单调递增，所以g0.01)Pg0)=0,故c<a,从 而有b<ca,故选B. (⑤)已知函数x)=e一依，x∈(0，十o),当>x时，不等式f1x2一f在2x1<0恒成立，则实数a的取值 范围是() A.(-o,e] B.(-o,e) C.(-0,e2) D.(-o,e2] 答案D解析由fe1)x2一f2x1<0,得x)xx2),令g(x)=xx),则gx)在(0，+o)上调递增，又 因为gx)=e一ax2,所以g'x)=e-2a≥0，在(0，十o)上恒成立，即a≤ex2x,令hx)=ex2x,则hx)=ex 在-1)22，令hc)=0,则h(x)在(0,1)单调递减，在(1，+D)单调递增，所以x)m=1)=e2,选D. (⑥已知函数fx)的定义域为0，+o),导函数为fx),若sfx)-fx)=xnx,且favs4 alcol0f1e)=le,则( A.faws4 alcol(0f1c)=0B.x)在x=le处取得极大值C.01)1D.x)在(0，+o)上单谓 递增 答案ACD解析由题知函数x)的定义域为(0，十o),导函数为fx),fx)一x)=xr,