微专题05 数列经典题型精练-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题05 数列经典题型精练 【秒杀总结】 1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an． 2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩． 3、几种常见的数列放缩方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） ； （10） ； （11） ； （12）； （13）． 【典型例题】 例1．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）记为数列的前n项积，已知 (1)证明: 数列是等差数列； (2)若将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 求数列的前项和; (3)已知等比数列的首项为1，公比为若 对任意的恒成立，求的值. 例2．（2024·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）在数列中，．在等差数列中，前n项和为，，． (1)求证是等比数列，并求数列和的通项公式； (2)设数列满足，的前n项和为，求． 例3．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且. (1)求数列的通项和数列的通项； (2)若，求数列的前项和. 例4．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”． (1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？ (2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”． ①求q的取值范围； ②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件” 例5．（2024·全国·高三校联考专题练习）已知等差数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和． （说明：） 例6．（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的． (1)试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？ (2)设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值； (3)证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的． 例7．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【过关测试】 1．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）己知数列的前项积为，且． (1)证明：是等差数列； (2)从中依次取出第1项，第2项，第4项……第项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和． 2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为． (1)求数列的前n项和; (2)令，求的前9项之和． 3．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值； (2)证明：． 4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数． (1)求函数的极值； (2)证明：． 5．（2024·河南·高三校联考开学考试）记数列的前项和为. (1)证明为等比数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值. 6．（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 7．（2024·安徽黄山·统考一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中． (1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？ (2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值； (3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值． 8．（2024·山东日照·统考一模）己知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差． (1)求及的通项公式； (2)记集合的元素个数为，求数列的前50项和． 9．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”． (1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由； (2)已知A是“T集”． （i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A； （ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式． 10．（2024·广东深圳·统考一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 11．（