第05讲 三角形的有关概念与性质（7个知识点+7种题型+强化训练）-2023-2024学年七年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第05讲 三角形的有关概念与性质（7个知识点+7种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点5．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点6．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点7．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识复习 一．三角形（共5小题） 1．（2023春•）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 2．（2023春•）的三角之比是，则是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．（2023春•建邺区校级期中）如图，以为边的三角形的个数是 　　个． 4．（2023春•）若，，为三角形的三边长，此三角形周长为，且，；则　 　，　 　，　 　． 5．（2023春•峡江县期末）一个三角形的两边，． （1）当各边均为整数时，有几个三角形？ （2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？ 二．三角形的角平分线、中线和高（共4小题） 6．（2023春•奉贤区校级期中）下列各图中，正确画出边上的高的是　　 A．图① B．图② C．图③ D．图④ 7．（2021春•青浦区期中）直角三角形的三条高的交点在　　． 8．（2021春•上海期中）在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是　　条． 9．（2023春•嘉定区期末）如图，在中，，，垂足为点，有下列说法： ①点与点的距离是线段的长； ②点到直线的距离是线段的长； ③线段是边上的高； ④线段是边上的高． 上述说法中，正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三．三角形的面积（共6小题） 10．（2021春•崇明区期末）如图，已知，点、在直线上，点、在直线上，且，则下