2024年中考数学专题训练——相似三角形与圆综合

2024年中考数学专题训练——相似三角形与圆综合 1．如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，的长为 ． 2．如图，在中，是的直径，是的切线，切点是，连接，过点作，与交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若的直径为12，，求的长度． 3．如图，在中，，以边为直径作，交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 4．如图，已知是的直径，点C在上，现在有3个选项：①于点D ②平分．③直线是的切线；    (1)请从3个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明． 你选择的条件是 ，结论是__________．(只填序号) (2)在（1）的条件下，若，求的长． 5．如图，是的直径，点是圆上一点，点是半圆的中点，连接交于点，过点作的切线交延长线于．    (1)求证：； (2)若，求半径的长． 6．如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 7．如图，为的直径，延长至点E，使，过点A作交延长线于点D． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 8．在中，直径交弦于H，连接和，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在弧上，连接交于F，连接并延长交于M，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，且，求线段的长． 9．如图1，为的直径，弦于点，是上一点，延长，交于点，连结，，与交于点． (1)若，用含的代数式表示． (2)如图2，连结，，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作于点，与交于点，，，求的长． 10．如图，是的直径，是的弦，点F是延长线上的一点，平分交于点C，过点C作，垂足为点E． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径和的长． 11．如图，已知是的外接圆，，点为的中点，过作于，交于点，交于点．         (1)求证：； (2)如图，延长，交于点，连接． 求证：； 若，求的值．（用含的式子表示） 12．已知为等腰直角三角形，，是射线上一点，以为直径的交于点，过作交于点，连接，连接．    (1)如图，当在线段上时， 求证：是等腰直角三角形； 若为中点，求的值； (2)连接，若，，求的长． 13．如图1，在中，直径，D是上的动点，过点D作交于点E，F，连接，取的中点H，连接交于点M，并延长交于点C，连接． (1)当点D与圆心O重合时，如图2所示，求的值． (2)在点D的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出定值：若不是，请说明理由． (3)连接，，当是等腰三角形时，求的值． 14．如图，圆的弦，点为圆外一点，连结分别交圆于点，点，，连结                            (1)如图1，若圆的半径5，，求的长； (2)如图2，若 ①求的值； ②求圆的半径． 15．如图1，以的直角边为直径画，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结． (1)求证：． (2)如图2，当是等腰直角三角形时． ①求的正切值；②求的值． (3)若，设，求关于的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵与相切于点C， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵的直径为12， ∴， 在中，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 3．（1）连接，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：， ∵的半径为5， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 4．（1）解：选择①②作为条件，③作为结论，证明如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线；    （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴．    5．（1）证明：连接．    ∵点D是半圆的中点， ∴ ∴． ∵， ∴． 又∵是的切线 ∴ 即 ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：， 在中，， ， ， ， ． ， ． ． ． 6．（1）证明：连接，如图1，    是的平分线， ， ， ， ， ∴， ， 半径， 为切线； （2）解：连接，如图2，    ，，，