专题03 平面向量的概念、线性运算与坐标表示（六大题型,重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题3 平面向量的概念、线性运算与坐标表示 知识点一．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点三．平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识点五．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 重难点题型突破1 平面向量的基本概念 例1．（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 例2．（2023下·甘肃兰州·高二统考期末）关于空间向量的命题： ①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则． 其中所有真命题的序号有 ． 变式向训练1．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 变式向训练2．（2024·全国·高一专题练习）（多选题）下列结论中，错误的是（ ） A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．有向线段就是向量，向量就是有向线段. 重难点题型突破2 平面向量的线性表示 例3．（2024下·全国·高一专题练习）如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 例4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 变式向训练3．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 变式向训练4．（2023上·黑龙江·高三统考期中）（多选题）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3 平行向量与共线向量 例5．（2023下·陕西榆林·高一校考期中）（多选题）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 例6．（2023下·新疆·高一兵团第三师第