专题02 三角函数的图像与性质、图像变换（九大题型,重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题2 三角函数的图像与性质、图像变换 知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 知识点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 题型一：五点作图法 例1．（2022上·河南·高三专题练习）已知函数．    (1)求函数在上的单调递增区间； (2)在下列网格纸中作出函数在上的大致图象； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值． 例2．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知函数．    (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心． 题型二：函数的奇偶性 例3．（2024上·福建漳州·高一统考期末）函数的部分图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   例4．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式训练1．（2024上·河北承德·高一统考期末）函数在区间上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   变式训练2．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型三：函数的周期性 例5．（2019·河北·模拟预测）函数的最小正周期是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D． 例6．（2020上·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知函数的最小正周期是，则正数的值为 变式训练3．（2022下·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（　　） A． B． C． D． 变式训练4．（2020·陕西西安·校联考模拟预测）函数（）的最小正周期是，则 . 题型四：函数的单调性与最值 例7．（2023上·全国·高一专题练习）函数， 的单调递减区间为 ． 例8．（2024·陕西·校联考一模）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式训练5．（2024上·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 变式训练6．（2021下·内蒙古赤峰·高一统考期末）函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数的图像可由的图像向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图像关于直线对称 D．函数图像的对称中心为 例9．（2020下·山东·高二统考学业考试）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象．求： (1)的值； (2)的单调递减区间． 例10．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递减区间； (2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值． 题型五：函数的对称性（对称轴与对称中心） 例11．