圆锥曲线的性质及相关问题研究讲义-2024届高三数学二轮复习

1 圆锥曲线的性质及相关问题研究 一、主要问题 1.轨迹问题(动点轨迹的求法:定义法、相关点法、交轨法) 2.离心率问题(求值和求范围问题) 3.取值范围问题(寻找不等关系:隐形和显性不等关系的应用) 4.最值问题(几何性质的体现,构造函数求最值) 5.定值与定点问题(平面图形的本质属性的体现) 二、方法提炼: 1.三种语言形式的互化:文字描述(概念清晰)图形表示(直观精准)符号表达(科学规范、简洁) 2.两大关系:“位置关系”、“数量关系”的转化; (1)直线与圆锥曲线的位置关系几何问题代数化有关二次理论“根与系数的关系、判别式”的应用(弦长公式、中点坐标公式等); (注意一些基本技能在解题中的应用——如点差法、借助横截距设直线方程等) (2)最值和取值范围问题构造相关的函数、不等式确定主元、显性(隐形)不等关系等认真审题、转化条件。 三、从椭圆上一点引发的思考: 遇到椭圆上一点, 联想到: 1.,的周长为; 设,则的最大值为,其余弦值可以用离心率表示; ,特别的,当时; 。 2.;, , 该范围很有用的! 3., (当点在短轴端点时,取最小值;当点在长轴端点时,取最大值) 相关问题:给出的值可以确定点的个数等等。 若或,则可以根据求出离心率的取值范围。 4.弦过焦点,则,,的周长为。 5.若弦过焦点,则的面积的最大值为(当且仅当轴时取得)(会证明吗?) 6.的最大值为(为短轴一端点), , 7.为椭圆的任意一条弦,的中点为,则 (1)当的斜率不存在或等于零时,; (2)当的斜率存在且不为零时,。 (“点差法”的结论) 注意:当椭圆焦点在轴上时(), 8.如图,若椭圆的弦,则弦恒过椭圆内一个定点。 换句话说,以为直径的圆恒过定点椭圆上一定点,则过定点。 特别的,当点为椭圆顶点时,定点一定在坐标轴上,必须掌握之! 一般地,若(注:),则直线过定点(); 若,则直线有定向(当斜率存在时,有)。 9.如图,若、的倾斜角互补(或者说),则直线的斜率为定值(点处切线斜率的相反数),此结论可以推广到其他圆锥曲线。 10.若,,则为定值() 11.类比圆上一点处的切线方程,可得椭圆上一点处的切线:。 并且两焦点、到该切线的距离之积为定值(即); 若令,,,则有。 作于,过作交轴于,则。 (此结论还可以试着推广到双曲线!) 相关练习 1.椭圆()的一个焦点为,点在椭圆上,且(为坐标原点),则的面积 。 2.已知椭圆,则以点为中点的椭圆的弦所在直线方程为 3.椭圆()的两个焦点为、,若椭圆上存在点使得,则椭圆离心率的取值范围是 。 由,得,所以 4. 点为椭圆上的动点,为椭圆的左、右焦点,则的最小值为_ ,此时点的坐标为_ 5.设点分别为椭圆的左、右焦点,点P为椭圆C上任意一点,则使得成立的点P的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 6.斜率为1的直线与椭圆相交于、两点,则的最大值为( ) A.2 B. C. D. 7.已知椭圆:(),斜率为的直线与椭圆交,两点,若使弦的长为正整数的直线恰有3条,则的值为 ( ) A. B. C. D. 若改为“弦的长为正整数的直线恰有4条,则的取值范围是 。” 8.过椭圆的一个焦点作直线交椭圆于,两点,椭圆的中心为,当的面积最大时,求直线的方程。 解:由题意,直线的斜率不为0,可设过右焦点的直线的方程为, 设、,将代入椭圆,并整理得 ,所以,。 所以, 设(), 则(当且仅当,即时取等号)。 此时直线的方程为,根据椭圆的对称性,还不难得出当直线为时也符合题意。 所以的面积的最大值为,直线的方程为或。 一般化: 9.已知椭圆的中心为原点,离心率,短轴的一个端点为,点为直线与该椭圆在第一象限内的交点,平行于的直线与椭圆交于两点 (1)求椭圆的方程; (2)证明:直线与轴总能围成一个等腰三角形. 10.已知椭圆C中心在原点,焦点在轴上,焦距为,短轴长为. ( )求椭圆C的标准方程; ( )若直线:与椭圆交于不同的两点(不是椭圆的左、右顶点),且以为直径的圆经过椭圆的右顶点.求证:直线过定点,并求出定点的坐标. 解:( )设椭圆的长半轴为,短半轴长为,半焦距为, 则解得 ∴ 椭圆C的标准方程为. 4分 ( )由方程组 消去, 得 . 6分 由题意 , 整理得:……① 7分 设, 则,. 8分 由已知,, 且椭圆的右顶点为, ∴. 10分 即, 也即, 整理得. 解得 或 ,均满足① 11分 当时,直线的方程为 ,过定点, 不符合题意舍去; 当时,直线的方程为 ,过定点, 故直线过定点,且定点的坐标为. 11.设点,是椭圆上异于点的不同两点,满足,则直线恒过定点_ 6.已知为椭圆上的一个动点,弦、分别过焦点、,当垂直于x轴时,恰好有. ( )求该椭圆的离心率; ( )设,试判断是否为定值?若是定值,求出该定