圆锥曲线的离心率及存在性问题 讲义-2024届高三数学二轮复习专题

4 专题 圆锥曲线的离心率及存在性问题 一．离心率基本方法分析 1．离心率的求法：其本质是寻找基本量之间不同与的等量关系式．有时由代数关系直接得出，有时根据平面几何知识得出相关等式． 2．离心率范围的求法：其本质是寻找基本量之间的不等式．有时根据“显不等关系”直接得出，有时根据“隐不等关系”转化．注意方程思想的应用． 3．离心率与、的关系： 4．离心率的几何意义及三角表达式 二．相关练习 1．若椭圆的离心率，则 ． 2．椭圆有相同的离心率，则的值是_________． 3．设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线 的离心率为 ； 4．（ ）椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作 正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） 5．（ ）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点， 则该椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） 6．（全国一）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 6．已知椭圆（）上一点，、为椭圆的左、右焦点，以短轴长为直径的圆切与点，且点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 7．（ ）若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为，则它的离心率为 （A） （B）2 （C）或2 （D）或2 8．（ ）已知椭圆的焦点在x轴上，则这一椭圆的离心率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 类似地：双曲线的离心率，则的取值范围是 ． 解：因为，所以。 9．（全国二）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10. 椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 解：由于对于任意椭圆，其上必存在两个点使得，所以只需考虑或为等腰三角形顶点的情况即可！此时， 设，由，得，所以，又点在椭圆上，所以，所以， 所以，即，所以， 依题意，所以，解得， 又因为当时，为正三角形，椭圆上仅有2个点符合题意， 故。选D。 或者：直接由椭圆的焦半径公式得，结合的范围求出即可！ ( A B D C )11．如图，在等腰梯形中，，且． 设，，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则（ ） A．随着角度的增大，增大，为定值B．随着角度的增大，减小，为定值 C．随着角度的增大，增大，也增大D．随着角度的增大，减小，也减小 12．已知正六边形如图，给出下列四个命题： ①点在以为焦点，且经过点的椭圆上； ②若以为焦点，经过点的椭圆的离心率为，则； ③若以为焦点，分别过点C，D，E的椭圆的离心率依次为 ，，，则； ④若以为焦点，经过点的椭圆的离心率为，以为焦点，经过点的双曲线的离心率为，则. 其中所有真命题的序号是 . ※ 存在性问题分析 ※ 1．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D） 2．椭圆的焦点为、．若椭圆上存在一点，使， 则离心率的取值范围是___________． 变式：椭圆的长轴端点是．若椭圆上存在一点，使，则离心率的取值范围是___________． 3．若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是 （ ） A． B． C． D． 经过动画观察可得： 结论：在椭圆中，； 在双曲线中，。 4．若双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点， 且，则该双曲线离心率的取值范围是 ． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 6．设直线系，对于下列四个命题： ①中所有直线均经过一个定点 ②存在定点P不在M中的任一条直线上 ③对于任意整数（），存在正边形，其所有边均在中的直线上 ④中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是