考点14 （特殊）平行四边形【七大模型】归类-2023-2024学年八年级数学下册考点归纳与解题策略（人教版）

考点14 （特殊）平行四边形【七大模型】归类 （含中点四边形、垂美模型、梯子模型、半角模型、翻折模型、十字架模型、对角互补模型） 1.中点四边形 【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 中点四边形的性质： 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③sEFGH =sABCD 证明： 模型 证明过程 ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH∥BD，EH=BD ∵FG是△BCD的中位线 ∴FG∥BD，FG=BD ∴EH∥FG EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC，EF=AC ∵GH是△ACD的中位线 ∴GH∥AC，GH=AC ∴EF∥GH EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形 结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 模型 证明过程 ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH=BD ∵FG是△BCD的中位线 ∴FG=BD ∴EH = FG =BD 则EH+FG= BD 同理EF = GH =AC 则EF+GH=AC ∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+GH=BD+AC 证明：CEFGH =AC+BD 过点A作AN⊥BD，垂足为点N，AN与EH交于点M s▱PHEQ=PQ•MN=AN•BD=•(AN•)= S△ABD 同理s▱PGFQ = S△BCD ∴sEFGH =sABCD 证明：sEFGH =sABCD 结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 已知条件 模型 证明过程 特例 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，垂足为点O，则四边形EFGH是矩形. 根据已知条件可知四边形EFGH为平行四边形 ∵AC⊥DB ∠DOC=90° ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF ∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90 ° ∴四边形EFGH是矩形. 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC=DB，垂足为点O，则四边形EFGH是菱形. ∵EF是∆ABC的中位线 ∴EF= ∵HG是∆ADC的中位线 ∴HG= ∴EF= 同理EH= ∵AC=DB ∴EF=HG=EH=FG ∴四边形EFGH是菱形 点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，AC=DB垂足为点O，则四边形EFGH是正方形. 已知四边形EFGH是菱形（参考上述证明过程） ∵AC⊥DB ∴EF⊥EH ∴四边形EFGH是正方形 结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 2.垂美模型 【模型介绍】对角线互相垂直的四边形为垂美四边形. 已知 图示 结论（性质） 证明过程 四边形中AC⊥BD ①S垂美四边形ABCD=AC•BD ②AB2+DC2=AD2+BC2 如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP DP2+BP2=AP2+PC2 ∵DP2+BP2 =DP2+BC2+PC2 PC2+AP2 =PC2+DP2+AD2 而AD=BC ∴ DP2+BP2=AP2+PC2 如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP AP2+PC2=DP2+BP2 过点P分别作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分别为点E、点F、点G、点H 由已知条件可得HF⊥EG ∴HG2+EF2=EH2+FG2(证明过程略) 而AP=EH，BP=EF，CP=FG，DP=GH ∴ AP2+PC2=DP2+BP2 3.梯子模型 【模型介绍】如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型. 【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题. 模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°， AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB 最大值. 思路：∵OP+BP ≥ OB （三点共线时，取相等） ∴OB≤ OP+BP ∴当O、P、B三点共线时，此时线段OB取最大值 OB=