第二章 5 第1课时 二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS 数学 第二章　二次函数 5　二次函数与一元二次方程（新课标变动内容） 第1课时　二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 知识点1　二次函数与一元二次方程的关系 1.关于x的一元二次方程x2－x－n＝0没有实数根，则二次函数y＝x2－x－n图象的顶点在（　A　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.对于二次函数y＝ax2－2ax－3a＋3的性质，下列说法错误的是（　D　） A.抛物线的对称轴为直线x＝1 B.抛物线一定经过两定点（－1，3）与（3，3） C.当a＜0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点 D.当a＞0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点 A D 3.（2023·郴州中考）已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 　9　⁠. 4.关于x的方程mx2＋mx＋5＝m有两个相等的实数根，则相应二次函数y＝mx2＋mx＋5－m的图象与x轴必然相交于点 　　⁠，此时m＝ 　4　⁠. 9　 　 4　 知识点2　用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 5.二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝mx＋n的图象如图所示，当ax2＋bx＋c≤mx＋n时，x的取值范围是 　－2≤x≤1　⁠. 6.一名跳水运动员从10米跳台上跳水，他跳下的高度h（米）与所用的时间t（秒）的关系是 h＝－5（t－2）（t＋1），这名运动员从起跳到入水所用的时间为 　2　⁠秒. －2≤x≤1　 2　 7.小明参加铅球比赛，若某次投掷中铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式为y＝－（x－3）2＋5，小明这次投掷的成绩为 　8　⁠米. 8　 （1）分别求出y与x，w与x之间的函数表达式. 解：（1）设y＝kx＋b，根据题意，将（1，40），（2，50）代入y＝kx＋b，得解得故每月再生资源处理量y（吨）与月份x之间的函数表达式为y＝10x＋30. 每月的利润w（元）与月份x之间的函数表达式为w＝100y－p＝100（10x＋30）－（50x2＋100x＋450）＝－50x2＋900x＋2 550. 8.新情境某单位进行技术革新，使可再生资源得以重新利用.今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位再生资源处理量每月将提高10吨，月处理成本p（元）与月份x之间的关系可近似地表示为p＝50x2＋100x＋450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元.若该单位每月再生资源处理量为y（吨），每月的利润为w（元）. （2）今年该单位哪个月获得利润可以达到5 800元？ 解：（2）由－50x2＋900x＋2 550＝5 800， 得x2－18x＋65＝0， 解得x1＝13，x2＝5. ∵x≤12，∴x＝5， ∴今年该单位5月份获得的利润可以达到5 800元. 易错点1　忽略二次项系数不为0的条件 9.已知：抛物线y＝（k－1）x2＋2kx＋k－2与x轴有两个不同的交点. （1）求k的取值范围. 解：（1）Δ＝4k2－4（k－1）（k－2）＝12k－8， 依题意，得 ∴k的取值范围是k＞且k≠1.① （2）当k为整数，且关于x的方程3x＝kx－1的解是负数时，求抛物线的表达式. 解：（2）解方程3x＝kx－1， 得x＝， ∵方程3x＝kx－1的解是负数， ∴3－k＞0. ∴k＜3，② 综合①②，可得k的取值范围是＜k＜3且k≠1，再由k为整数，可得k＝2， ∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x. （3）在（2）的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长. 解：（3）如图所示，设最大正方形ABCD的边长为m，则B，C两点的纵坐标为－m，且由对称性，可知B，C两点关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线x＝－2， ∴点C的坐标为， ∵C点在抛物线上， ∴＋4＝－m. 整理，得m2＋4m－16＝0， ∴m＝＝－2±2（负值舍去）， ∴m＝2－2. 易错点2　求字母的范围未考虑一元二次方程根的判别式 10.已知二次函数y＝kx2＋3x－6的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且＋＝5，求k的值. 解：∵y＝kx2＋3x－6的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点， ∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－， ∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝5，即＋＝5， ∴5k2－12k－9＝0，解得k1＝3，k2＝－， 经检验，k1＝3，k2＝－都是原方程的根. ∵Δ＝b2－4ac＞0，即32＋4×6k＝9＋24k＞0，即k＞－， ∴k＝－不合题意，舍去，∴k＝3. 11.（2023·泸州龙马潭区一模）抛物线y＝－x2＋bx＋c经过