一元函数的导数及其应用复习学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

一元函数的导数及其应用 导数的概率及其意义 （1）导数的定义： 对于函数y= f(x)，设自变量x从x0变化到x0+△x，相应的，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+△x)，在这一过程中，x的变化量为△x，y的变化量为△y=f(x0+△x)-f(x0)，我们把比值 叫做函数y= f(x)从x0到x0+△x的平均变化率； 如果当△x→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y= f(x)在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数，也称为瞬时变化率，记作f’(x)或y’，即 f’(x0)=. （2）导数的几何意义: 对于函数y= f(x)，记△x=x，P(x，f(x))，(，f())，当△x→0时，点P 就无限接近，直线P无限趋近于函数y= f(x)的图象在x=处的切线，而此时直线P的斜率k=无限趋近于f’()， 所以函数y= f(x)在x=的导数f’()的几何意义就是该函数的图象在x=处的切线的斜率. （3）导函数: 对于给定的函数y=f (x)，当x=时，f’()是一个确定的数，那么当x变化时，f’(x)就是x的函数；我们称它为y=f(x)的导函数，简称导数，y= f(x)的导函数有时也记作y’，即f’(x)=y’=. 例1、 曲线y=-2x2+1在点（1，-1）处的切线方程为__________. （4）基本初等函数 C’=0； （xa）’=axa-1（a∈Q且a≠0）； （sinx）’=cosx； （cosx）’=-sinx； （ax）’=axlna、（ex）’=ex； （logax）’= 、（lnx）’= . 补充：（tanx）’. （5） 导数四则运算法则 ’’ ’ ； ’ ’ （6） 简单的复合函数求导 ’ 例2、 求下列函数的导数. （1） 例3、 求下列函数的导数. （1） 例4、 复合函数求导 （1） 导数应用 1、 切线计算 类型一：已知切点 例1、 曲线 类型二：未知切点 例2、 曲线过点（-2,2）的切线方程为 类型三：直线与曲线相切，求未知数 例3、 直线与曲线相切，则实数k= 练1：若图像上（1,0）处的切线与 2、 判断函数单调性 1、基础知识梳理 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f’(x)的正负之间有如下关系： （1） 在某个区间（a，b）上，如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在（a，b）上单调递增； （2） 在某个区间（a，b）上，如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在（a，b）上单调递减. 2、导数与变化快慢 一般地，若一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 例1、求函数f（x） 练1、已知函数f（x）求f（x）的单调区间. 练2、求函数f（x）的单调区间. 3、 函数的极值与最大（小）值 1、基础知识梳理 极值： 对于函数f(x)，若在x=a附近的左侧，f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则称 a是f(x)的极小值点，f(a)是f(x)的极小值；若在x=b附近的左侧，f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则称b是f(x)的极大值点，f(b)是f(x)的极大值，极小值点和极大值点统称极值点，极小值和极大值统称极值 函数的最大(小)值： 若f(x)在上的图象是一条连续不断的曲线，则f(x)在上必有最大值和最小值，可按如下步骤求出最值. （1）求y=f(x)在区间（a，b）上极值； （2）将函数y= f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 例1、 求函数f（x）=（）的单调区间与极值. 例2、求函数f（x）=在上的最大值和最小值. 答案 导数的概率及其意义 例1：y=-4x+3 例2： （1） 例3： （1） ；（4） （5） . 例4： （1） 导数应用 切线计算 例1：； 例2： 例3： 练1：m=3或-1. 判断函数单调性 例1：增区间为（-∞，-1），（2，+∞）；减区间为（-1,2）. （区间可开可闭） 练1：增区间为（-1,2），减区间为（-∞，-1），（2，+∞） 练2：增区间为（，+∞），减区间为（0,1），（1，） 函数的极值与最大（小）值 例1：增区间为（-∞，-1），（2，+∞）；减区间为（-1,2）；f（x）极大值为f（-1）=，极小值f（2）=. 例2：f（x）max=17，f（x）min=15. 学科网（北京）股份有限公司 $$