4.3.1 等比数列的概念（1知识清单+9大模块）讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 目录 【学习目标】 3 1.通过学习，理解等比数列的相关概念、性质及通项公式与函数关系； 3 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程，掌握等比数列的判断及证明方法. 3 【知识清单】 3 一、等比数列的概念 3 二、等比中项 3 三、等比数列的通项公式 3 四、等比数列的判定方法 4 五、等比数列的性质 4 【典例分析与跟踪训练】 5 模块一 等比数列概念 5 模块二 等比数列的项与通项公式 5 模块三 等比中项的应用 6 模块四 等比数列的判定与证明 7 模块五 等比数列的性质与应用 8 模块六 由等比数列构造等比数列 9 模块七 等比数列的实际应用 10 模块八 等差数列与等比数列的互化 11 模块九 等比数列的单调性与最值 13 【学习目标】 1.通过学习，理解等比数列的相关概念、性质及通项公式与函数关系； 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程，掌握等比数列的判断及证明方法. 3理解等比数列与等差数列之间的转化；4.通过建立数列模型并应用模型解决实际问题，解决等比数列的综合应用问题。 【知识清单】 一、等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． 注意点： (1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)． (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)比必须是同一个常数． (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 二、等比中项 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注意点： (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列． (2)只有同号的两个实数才有等比中项． (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 三、等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 注意点： (1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列． (2)当a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列． (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列． (4)当a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列． (5)当q＝1时，数列{an}为常数列． (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 四、等比数列的判定方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)． (2)等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)． (3)通项公式法：an＝a1qn－1＝·qn＝A·qn(A≠0)． 注意点： (1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)用定义法证明时，和中的n的范围不同． 五、等比数列的性质 1、“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 即，，，…仍是等比数列，公比为 2、等比数列的下标性质（要求下标的和相等，且左右两侧项数相同） 在等比数列中，若，则； （1）特别地，时，； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 （3）若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． 3、两等比数列合成数列的性质 若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数， 则数列、、也是等比数列； 4、等比数列通项公式的推广和变形an＝amqn－m. 【典例分析与跟踪训练】 模块一 等比数列概念 例题1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，，，，，…； (2)，2，3，4，…； (3)1,0,1,0,1,0，…； (4)1，－4,16，－64,256，…； (5)a，a，a，a，a…. 跟训1-1．下列各组数成等比数列的是（    ） ①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，， A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 跟训1-2．已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是