5.2.3简单复合函数的导数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 原函数 导函数 f(x)=c f′(x)= f(x)=xn(n∈Q*) f′(x)= f(x)=sinx f′(x)= f(x)=cosx f′(x)= f(x)=ax (a>0且a≠1) f′(x)= f(x)=ex f′(x)= f(x)=logax(a>0且a≠1) f′(x)= f(x)=lnx f′(x)= 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即: 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即: 思考 如何求函数y=ln(2x-1)的导数? 函数y= ln(2x-1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数. 下面, 我们先分析这个函数的结构特点. 若设 ,则y=lnu,从而函数y=ln(2x-1)可以看成是由y=lnu和 两个基本初等函数经过复合而成的一个复合函数. 把y与u的关系记作y=f(u),u与x的关系记作u=g(x),那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x-1). 问题 如何求复合函数的导数呢? 我们先来研究y=sin2x的导数. 问题 如何求复合函数的导数呢? 我们先来研究y=sin2x的导数. 复合函数导数的链式法则: 一般地,对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积,简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 逐层求导 例6 求下列函数的导数: 解: 1. 求下列函数的导数: 解: 课本P81 1. 求下列函数的导数: 解: 课本P81 2. 求下列函数在给定点处的导数: 课本P81 解: 课本P81 课堂小结: 1.复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作:y=f(g(x)). 2. 复合函数的导数法则: 一般地,对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 基本初等函数的导数公式 求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数; ②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. $$