3.1.1 函数的概念 第一课时单元导学 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

学习进程 第一课时 单元导学 学习是一次旅程，在学习新知之前，教师应当将本次学习旅程将要学习的知识以“景点”的形式和学生做简要介绍. 任务一：了解本节课要参观的“景点”. 景点1：函数的概念是什么？ 景点2：为什么要建立函数的概念？ 景点3：函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？ 【设计意图】有利于形成完整的学科基本结构，有利于良好认知结构的构建. 任务二：理解函数的概念是如何建立的以及函数的概念是什么. 函数概念是最重要的数学概念之一. 纵观函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应的角度不断赋予函数概念以新的思想，推动了整个数学学科的发展. 函数概念的一次次的提出、推翻、修正、完善，是后人对前人思维的一次次突破.请同学们阅读工作单 1 ~ 4（分别对应历史上函数概念的4 次抽象认识），思考并完成每个工作单的学习任务，而后阅读相关文 字材料，沿着数学家探索数学概念所走过的路，自主勾勒函数概念发生的线路图，并完成表 1. 表1：函数概念发生线路图 第一次认识 第二次认识 第三次认识 第四次认识 代表人物 主要观点 局限性 工作单 1：函数概念的第一次抽象认识. 案例1 圆的面积S与圆半径r的关系. 案例2 锐角α与锐角β互余，α与β的关系. 案例3 气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系. 思考1：上述的每个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？ 思考2：两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？ 思考3：综合思考 1 和思考 2 的解答，总结上述例子中变量间关系的共同特点？ 阅读材料：17世纪伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系. 1673年前后笛卡儿在他的《解析几何》一书中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念. 1718年约翰·伯努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义）.佰努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”. 欧拉在《无穷分析引论》中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式.” 【说明】这个时期是人们对于函数概念的第一次抽象认识. 主要代表人物为欧拉、伽利略、笛卡儿、约翰·伯努利，主要观点是：函数就是解析式. 但新的问题出现了：并不是所有的函数关系都能用解析式表示. 比如，温度和时刻之间的关系、年份与人口数的关系就不能用解析式表示. 从而引发了人们对函数概念的第二次抽象认识. 工作单2：函数概念的第二次抽象认识. 案例4 估计人口数量变化趋势是我国制定一系列相关政策的依据，从人口统计年鉴中可以查得我国从 1949 ~ 1999 年人口数据资料如表2所示，根据表格回答下列问题. 表 2：1949 ～ 1999 年我国人口数据表 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1 035 1 107 1 177 1 246 思考1：表格中有变量吗？有几个变量？是什么？ 思考2：当年份确定时，相应年份的人口数是否确定？你能根据表格写出 1949 ~ 1999 年的年份与我国人口数的关系式吗？ 案例5 图 1 为某市一天 24 小时内的气温变化图. 思考1：统计图中有变量吗？有几个变量？是什么？ 思考2：当时间确定时，相应的温度是否确定？ 你能写出温度随时间变化的关系式吗？ 思考3：综合上述思考题的解答，总结上述例子中变量间关系的共同特点. 阅读材料：欧拉在《微分学原理》的序言中给出的函数定义是：如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数. 【说明】 这个时期是人们对于函数概念的第二次抽象认识. 主要代表人物为欧拉，主要观点是：函数是指两个变量之间具有依赖关系. 但新的问题出现了：并不是所有的函数关系中的变量间都具有依赖关系. 比如计程车路程与费用关系，当路程在起步价范围内，收取费用完全相同，即此段中两个变量之间不具有依赖关系. 从而引发了人们对函数概念的第三次抽象认识. 工作单3：函数概念的第三次抽象认识. 案例6 某市出租汽车的收费标准如下：在3 km（含 3 km）路程内按起步价