第07讲 复数（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第07讲 复数（精讲） ①数系的扩充和复数的概念 ②复数的几何意义 ③复数的加、减运算 ④复数的乘、除运算 题型一：数系的扩充和复数的概念 一、实数系 （1）实数系的分类 (2)实数的性质 ①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数； ②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律； ③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系. 二、复数的概念 （1）复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立. 所以实数系经过扩充后得到的新数集是. （2）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （3）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 三、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 解题策略 1.复数的概念解题思路 (1)对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,而且更要注意a,b均为实数,才能确定复数的实部、虚部. (2)将数系扩充到复数后,在判定数的性质和结论时要明确在哪个数集上,若一个命题在实数范围内成立,但是在复数范围内却不一定成立,如一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题. (3)复数范围内能够比较大小的只能是实数. 1.复数的相等解题思路 复数相等的充要条件是化复数问题为实数问题的主要依据,多用来求解参数的值.步骤是:分别分离出两个复数的实部与虚部,利用实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解. 【例1】已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据题意和纯虚数的概念可得，解之即可. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得. 故选：C. 【例2】若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件即可得解. 【详解】由，得，则， 根据复数相等的充要条件得，解得， 故． 故选：B． 一、单选题 1．（2023·高一课前预习）在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023下·湖北·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考阶段练习）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2023下·山西阳泉·高一统考期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 4．（2023下·全国·高一随堂练习）已知，，若，则z的虚部是（    ） A．-2 B．1 C．-2i D．2i 5．（2023·江苏·高一专题练习）若复数，则实数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）对于复数，下列结论错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 7．（2023·全国·高一专题练习）（多选）若，且，则等于（    ） A．4 B． C．2 D．0 三、填空题 8．（2023·全国·高一专题练习）已知复数为纯虚数，则实数 ． 9．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）已知x、，若，则 ． 10．（2023下·江苏淮安·高一统考期中）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为 ． 11．（2023下·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知复数为实数，则 . 12．（2023·全国·高一专题练习）已知，则实数的取值分别为 ． 题型二：复数的几何意义 一、复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 二、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 三、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 四、共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2