2.2.1 第2课时 平行四边形的对角线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

2.2.1 平行四边形的性质 第2章 四边形 第2课时 平行四边形的对角线的性质 优翼八下数学教学课件（XJ） 视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么? 点击视频 开始播放 → 导入新课 平行四边形的对角线的性质 我们知道了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系? 猜一猜 OA = OC，OB = OD. 怎样证明这个猜想呢？ A B C D O 新课讲授 3 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD. 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC，AD∥BC. ∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA = OC，OB = OD. A C D B O 3 2 4 1 证一证 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 应用格式： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 归纳总结 例1 已知 ABCD 的周长为 60 cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 的周长比 △DOA 的周长长 5 cm，求这个平行四边形各边的长． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝ OD，AB ＝ CD，AD ＝ BC. ∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长 5 cm， ∴ AB－AD ＝ 5 cm. 又∵ ABCD 的周长为 60 cm，∴ AB＋AD＝30 cm， 则 AB ＝ CD ＝ 17.5 cm，AD ＝ BC ＝ 12.5 cm. 平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 归纳 【变式题】如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，平行四边形 ABCD 的周长是 100 cm，△AOB 与 △BOC 的周长的和是 122 cm，且 AC∶DB = 2∶1，求 AC 和 BD 的长． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC，AB = CD，OB = OD， ∴ AB + BC = 50. ∵△AOB 与△BOC 的周长的和是 122 cm， ∴OA + OB + AB + OB + OC + BC = 122， 即 AC + BD = 122 - 50 = 72. 又∵AC∶DB = 2∶1， ∴AC = 48 cm，BD = 24 cm． 例2 如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 交于 O 点，点 E，F 分别是 AO，CO 的中点，试判断线段 BE，DF 的关系并证明你的结论． 解：BE ＝ DF，BE∥DF. 理由如下：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝ OC，OB ＝ OD. ∵点 E，F 分别是 AO，CO 的中点， ∴OE ＝ OF. 在 △OFD 和 △OEB 中， OF ＝ OE，∠DOF ＝ ∠BOE，OD ＝ OB， ∴△OFD≌△OEB (SAS). ∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF. ∴BE∥DF. 例3 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O. 过点 O 作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F.求证：OE = OF. A B C D F E O 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ODF = ∠OBE， ∠DFO = ∠BEO. ∴△DOF≌△BOE（AAS）. ∴AB∥CD， OD = OB. ∴OE = OF. 思考 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗? A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中，OE = OF 还成立么？ 议一议 同例 3 易证明 OE = OF 还成立. 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等. 归纳 1. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，若 AD = 16，AC = 24，BD = 12，则△OBC 的周长为 (　) A. 26 B. 34 C. 40 D. 52 练一练 B 2. 如图，在▱ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB = 6，则对角线 AC，BD 的长度的和是