上海市民办南模中学2023-2024学年高二下学期初态考试数学试卷

2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期 初态考试数学试卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.空间中二面角的平面角的取值范围是______. 2.若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角的大小为______. 3.已知一个圆锥的底面半径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为______. 4.某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29,30,39,25,37,41,42,32，那么这组数据的第75百分位数为______. 5.在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为______. 6.现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______. 7.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是______. 8.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为______. 9.若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______. 10.已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为______. 11.在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为______. 12.已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，线段的中点的轨迹记为曲线，若经过点的直线与曲线只有一个交点，则直线的倾斜角的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14.下列说法中错误的是（ ） A.一组数据的平均数、中位数可能相同 B.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多 C.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量 D.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量 15.已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 16.如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（ ） ①当时，随着的增大而减小； ②当时，随着的增大而增大 A.①②都是真命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①②都是假命题 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图,在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面,且,设分别为的中点. （1）证明:直线平面； （2）求直线与平面所成的角的正切值. 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图. （1）若数据分布均匀, 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； （2）现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180, 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败． 已知米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为． （1）若，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到） （2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？D A E B C P 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 椭圆的左、右焦点分别为、.