18.2.2 第2课时 菱形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（人教版）

平行四边形 菱形 特殊的平行四边形 平行四边形 平行四边形的性质 平行四边形的判定 性质 判定 矩形 正方形 新知一览 平行四边形 第十八章 平行四边形 18.2.2 菱 形 第 2 课时 菱形的判定 人教版八年级（下） 2 问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是矩形， 你觉得对吗？ 不对，菱形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅垂直且平分. 不对， 如图. 情景导入 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 知识点1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 探究新知 证一证 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 归纳总结 菱形的判定定理1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 典例精析 例1 如图，□ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D O 分析： 求证：四边形 ABCD 是菱形 求证：AC⊥BD AB = 5，AO = 4，BO = 3 AB2 = OA2 + OB2 △AOB 是直角三角形 AC⊥BD 四边形 ABCD 是菱形 练一练 1. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 ( 　 ) A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD B 知识点2：四条边相等的四边形是菱形 小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点. 已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 证一证 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D 归纳总结 菱形的判定定理2 四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ AB = BC = CD = AD， ∴四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 典例精析 证明： ∵∠1 = ∠2，AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2 例2 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 知识点3：菱形的性质与判定的综合运用 例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； 分析： 四边形 BCFE 是菱形 EF＝BE ＋ BC＝CF＝BE D、E 分别是 AB、AC 的中点 DE∥BC，2DE＝BC B