第十七章 《勾股定理》专题课件（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（人教版）

综合专题讲解 第十七章 勾股定理 人教版八年级（下） 1 专题一：勾股定理的方程思想 专题二：最短路径 专题目录 例1 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 3 cm，AD = 9 cm，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF， 求 △ABE 的面积. 分析： 3 9 x 9 - x 求 △ABE 的面积 求 AE 的长，设 AE = x BE = ED = 9 - x 9 - x 在 Rt△ABE 中，BE2 = AB2 + AE2 32 + x2 = (9 - x)2 专题一：勾股定理的方程思想 解：由折叠可知 ED = BE. 设 AE = x cm， 则 ED = BE = (9 - x) cm． 在 Rt△ABE 中， AB2 + AE2 = BE2， ∴ 32 + x2 = (9 - x)2，解得 x = 4. ∴ △ABE 的面积为 ×3×4 = 6 (cm2). 3 9 x 9 - x 9 - x 【应对策略】勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，往往要通过勾股定理列方程去求解． 例2 如图，在 △ABC 中，AB = 17，BC = 9，AC = 10，AD⊥BC 于 D. 试求 △ABC 的面积． 分析：求 △ABC 的面积 17 9 10 求 AD 的长 观察图形，AD 既是 Rt△ABD 的一直角边也是Rt△ACD 的一直角边 AB2 - BD2 = AC2 - CD2 设 CD = x ，列方程求解 解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中， AB2 - BD2 = AD2，AC2 - CD2 = AD2． 设 CD = x，则 BD = 9 + x． 故 172 - (9 + x)2 = 102 - x2，解得 x = 6. ∴ AD2 = AC2 − CD2 = 64． ∴ AD = 8. ∴ S△ABC = ×9×8 = 36． 17 9 10 x 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5 cm， AC = 3 cm，动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 以 2 cm/s 的速度移动，设运动的时间为 t s，当 t = ________s 时， △ABP 为直角三角形. 分析： 使△ABP 为直角三角形，且动点 P 在射线 BC 上运动，则需分两种情况讨论： ①∠APB = 90°； ②∠BAP = 90°；分别求出此时 t 的值. 解：∵∠C = 90°，AB = 5 cm，AC = 3 cm， ∴ BC = 4 cm. ① 当∠APB = 90° 时，点 P 与点 C 重合， BP = BC = 4 cm， ∴ t = 4÷2 = 2 s. 5 3 ② 当∠BAP = 90° 时，BP = 2t cm，CP = (2t - 4) cm， AC = 2t cm， 在 Rt△ACP 中，AP2 = AC2 + CP2 = 32 + (2t - 4)2. 在 Rt△BAP 中，AP2 = BP2 - AB2 = (2t)2 - 52. 32 + (2t - 4)2 = (2t)2 - 52， 解得 t = 综上，当 t = 2 s 或者 时， △ABP 为直角三角形. 5 3 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 8. 斜边 AB 中的垂直平分线交 BC 于点 D ， 则 CD = _________. A B C 3 练一练 解：(1) 如图① 作 AD⊥BC，∵ AB = AC = 5，BC = 8， ∴ BD = CD = 4 cm. ∴ 由勾股定理得 AD = 3. ∴ S△ABC = BC· AD = ×3×8 = 12. 2. 如图，等腰三角形 ABC 的底边长为 8 cm， 腰长为 5 cm，一动点 P 在底边上从点 B 向点 C 以 1 cm/s 的速度移动. (1) 求 △ABC 的面积； (2) 请你探究：当点 P 运动多长时间时，点 P 与顶点 A 的连线 PA 与腰垂直？ D 5 3 5 (2) 分两种情况讨论：如图①，当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AC，BP = t，PC = 8 - t，PD = 4 - t， ∵ AP2 = PD2 + AD2 = PC2 - AC2， ∴ (4 - t )2 + 32 = (8 - t)2 - 52 . ∴ t = 1.75. ∴ PD = 2.25. 如图②，当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AB 时，