17.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（人教版）

勾股定理 勾股定理的逆定理 勾股定理 勾股定理 作图或计算 在实际生活中的应用 逆定理 逆定理的应用 新知一览 17.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 第十七章 勾股定理 人教版八年级（下） 2 知识回顾 A　 B　 C　 a b c 勾股定理： 在 Rt△ABC 中， 若∠C = 90°， 则___________ 勾股定理的逆定理： 回顾所学，并完成下列框图. 互逆定理 a2 + b2 = c2 在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°. 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 探究新知 知识点1： 勾股定理的逆定理的应用 1 2 例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号 沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 1 2 N E P Q R 实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？ 16×1.5=24 12×1.5=18 30 24 18 30 “远航”号沿东北方向 ∠1 = 45° 抽象成数学问题 解决实际问题 1 2 N E P Q R 几何问题： 知______________， 求______________ PQ,PR,QR 的长 ∠2 的度数 利用勾股定理逆定理求度数 解：根据题意， PQ = 16×1.5 = 24， PR = 12×1.5 = 18，QR = 30. 因为 242 + 182 = 302， 即 PQ2 + PR2 = QR2，所以∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 练一练 1. A、B、C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 在 B 地的什么方向？ 解：∵ BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169， AC2 = 132 = 169， ∴ BC2 + AB2 = AC2. 即△ABC 是直角三角形， ∠B = 90°. 答：C 在 B 地的正北方向． A B C 5 cm 12 cm 13 cm 2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解：∵ AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m， ∴ AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵ AC2＝92＝81， ∴ AB2＋BC2≠AC2. ∴ ∠ABC≠90°， ∴ 该农民挖的不合格． A D B C 3 4 13 12 知识点2： 勾股定理及其逆定理的综合应用 例2 如图，四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形 ABCD 的面积. 分析： AB＝3，BC＝4，∠B＝90° 连接 AC AC = 5 CD＝12，AD＝13 Rt△ACD S四边形 ABCD = SRt△ACD + SRt△ABD 解：连接 AC. 在 Rt△ABC 中， 在△ACD 中，AC2 + CD2 = 52 + 122 = 169 = AD2， ∴ △ACD 是直角三角形，且∠ACD = 90°. ∴ S四边形ABCD = SRt△ABC + SRt△ACD = 6 + 30 = 36. 四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 总结 3. 如图，在△ABC 中，AB = 17，BC = 16，BC 边上 的中线 AD = 15，试说明：AB = AC. 解：∵ BC = 16，AD 是 BC 边上的中线， ∴ BD = CD = BC = 8. ∵ 在△ABD 中，AD2 + BD2 = 152 + 82 = 172 = AB2， ∴△ABD 是直角三角形，即∠ADB = 90°． ∴ 在 Rt△ADC 中， ∴ AB = AC. 练一练 4. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 的顶点均位于格点上. (1) 判断∠C 是否为直角，并求出△ABC 的面积； A B C 解：如图，BC2 =