17.1 第1课时 勾股定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（人教版）

新知一览 勾股定理 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 勾股定理 勾股定理的逆定理的应用 利用勾股定理作图或计算 勾股定理在实际生活中的应用 勾股定理的概念 17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 第1课时 勾股定理 人教版八年级（下） 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”. 数学文化 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五. 你知道为什么吗？ 国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案. 它由哪些基本图形组成？ 你见过这个图案吗？ 导入新课 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 知识点1：勾股定理认识及验证 观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ A B C 探究新知 （图中每一格 代表 1 cm2） R Q P A C B 如图，在等腰三角形 ABC 中，∠C = 90°，以 AC 为边作正方形 P，以 BC 为边作正方形 Q，以斜边 AB 为边作正方形 R.观察图形进行填空. 合作探究 正方形 Q 的面积是_____个单位面积； 正方形 P 的面积是_____个单位面积； 正方形 R 中含有_____个小方块，正方形 R 的面积是_____个单位面积. 1 1 2 2 （图中每一格 代表 1 cm2） SP + SQ = SR R Q P A C B AC2 + BC2 = AB2 等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？ SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为正方形的面积. 请你类比上面的方法对一般直角三角形进行探索 (每个小正方形的面积为单位 1)： 这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？ 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 分析表中数据，你发现了什么？ A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 双击图标开始演示几何画板 结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 同学们发现的直角三角形三边的规律是否适用于所有的直角三角形呢？ 验证命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方. 让我们跟着以前的数学家们用多种方法来证明这一命题. a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， b- a 证明： “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2. 证明： ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a、b、c 为正数 a b c 归纳总结 勾股定理 公式变形 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (