19.1.1 矩形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

19.1 矩形 第19章 矩形、菱形与正方形 1.矩形的性质 优翼八下数学教学课件（HS） 观察下面图形，长方形在生活中无处不在. 情景引入 导入新课 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 你还能举出其他的例子吗？ 长方形 （也叫矩形） 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察. 矩形的性质 新课讲授 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形； 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也叫做长方形. 归纳总结 平行四边形不一定是矩形. 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质；由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 活动2： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. A B C D 证一证 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°. 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. A B C D O (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O， 故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求对角线的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OB. 又∵∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴ OA = AB = 4. ∴ AC = BD = 2OA = 8. A B C D O 典例精析 矩形的对角线 相等且互相平分 例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD， DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. 例3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求△BED 的面积． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x. ∵ 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2，解得 x＝5，即DE＝5. ∴ S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 思考：矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？ 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 由于矩形是平行四边形，因此 O 做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观