18.2 第4课时 多个平行四边结合的平行四边形的证明（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

18.2 平行四边形的判定 第18章 平行四边形 第4课时 多个平行四边结合的平行四边形的证明 优翼八下数学教学课件（HS） 复习引入 1.两组对边分别相等 2.两组对角分别相等 3.两条对角线互相平分 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3.对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形的性质 平行四边形的判定 导入新课 例1 如图，已知 E，F，G，H 分别是□ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的中点． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 证明：在平行四边形 ABCD 中， ∠A = ∠C，AB = CD，AD = BC； 又∵E，F，G，H 分别是边 AB，BC， CD，DA 上的中点，∴AE = CG，AH = CF， 典例精析 多个平行四边形结合的判定方法 新课讲授 ∴△AEH≌△CGF（S.A.S.）， ∴EH = GF； 同理可证 GH = EF； ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 一个图形中有几个平行四边形时，利用一个平行四边形的性质，得出相关图形角边的关系，由此判定出其他四边形也是平行四边形. 方法总结 例2 如图，在△ABC 中，BE = EC，过点 E 作ED∥BA交 AC 与点 G，且 AD∥BC，连接 AE、CD． 求证：四边形 AECD 是平行四边形． 证明：∵ED∥BA，且AD∥BC， ∴四边形 BEDA 是平行四边形， ∴AD = BE， ∵BE = EC，∴AD = EC， ∵AD∥BC， ∴四边形 AECD 是平行四边形 例3.如图，在□ABCD 中，点 E，F 在对角线 BD 上，且BE = DF．问线段 AE 与 CF 有什么关系？并加以证明． 解：AE = CF，AE∥CF. 理由：连接 AF，CE，AC，AC 交 BD 于点 O， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD，∵BE = DF， ∴OB-BE = OD-DF，即 OE = OF， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∴AE = CF 且 AE∥CF. 1.如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 的中点，四边形 AEFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形 AEFD 是平行四边形． 理由如下： 如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC，则AE∥DF． 又∵E、F 分别是边 AB、CD 的中点， ∴AE = DF，∴四边形 AEFD 是平行四边形． 练一练 2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，M、N 是对角线 BD 上的两点，且 BM = DN． 求证：四边形 AMCN 是平行四边形． 证明：如图，连接 AC，交 BD 于点 O． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD ∵对角线 BD 上的两点 M、N 满足 BM = DN， ∴OB-BM = OD-DN，即 OM = ON， ∴四边形 AMCN 是平行四边形． 1.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知点 E 在AB 上，点 F 在 CD 上，且 AE = CF． 求证：DE = BF． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD，AB∥CD． ∵AE = CF． ∴BE = FD，BE∥FD， ∴四边形 EBFD 是平行四边形，∴DE = BF． 当堂练习 2.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别是 BO、OD 的中点，且四边形 AECF是平行四边形，试判断四边形 ABCD 是不是平行四边形，并说明理由． 解：四边形 ABCD 是平行四边形， 证明如下：∵四边形 AECF 为平行四边形， ∴OA = OC，OE = OF， ∵E、F 分别是 BO、OD 的中点， ∴2OE = 2OF，即 OB = OD， ∵OA = OC，∴四边形 ABCD 是平行四边形． 3.如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问 BF 与 CE 相等吗？为什么？ 解：BF = CE.理由如下： ∵BD 平分∠ABC，∴∠FBD = ∠EBD， ∵DF∥BC，∴∠FDB = ∠DBE， ∴∠FBD = ∠FDB， ∵BF = FD，又∵DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形 FECD 是平行四边形， ∴FD = CE，∴BF = CE. 多个平行四边形中平行四边形的证明步骤 利用平行四边形性质，从已知平行四边形中得出有效结论 结合已知条件 判定所求四边形是否为平行四边形 课堂小结 $$