18.2 第2课时 平行四边形的判定定理3（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

18.2 平行四边形的判定 第18章 平行四边形 第2课时 平行四边形的判定定理3 优翼八下数学教学课件（HS） 问题1 除了两组对边分别平行或相等外，平行四边形还有哪些性质？ 平行四边形的两组对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 角： 对角线： 思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我们一起探讨一下吧. 问题2 上面的两条性质的逆命题各是什么？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 复习引入 导入新课 如图，将两根细木条 AC、BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD. 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？ B D O A C 猜想：四边形 ABCD 一直是一个平行四边形. 你能根据平行四边形的定义证明它们吗？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 新课讲授 A B C D O 已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明： 在 △AOB 和 △COD 中， OA = OC (已知)， OB = OD (已知)， ∠AOB = ∠COD (对顶角相等)， ∴△AOB≌△COD(S.A.S.). ∴∠BAO = ∠OCD，∠ABO =∠CDO. ∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 证一证 平行四边形的判定定理 3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. B O D A C 例1 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. B O D A C E F 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，BO = DO. ∵AE = CF， ∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = OF. 又∵BO = DO， ∴四边形 BFDE 是平行四边形. 典例精析 解：四边形 BMDN 是平行四边形． 理由如下：连接 BD 交 AC 于 O． ∵ BM⊥AC 于 M，DN⊥AC 于 N， ∴∠AND = ∠CMB = 90°． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OB = OD，AO = CO， AD = BC，AD∥BC，∴∠DAN = ∠BCM. ∴△ADN≌△CBM. ∴ AN = CM. ∴OA -AN = OC-CM， 即 ON = OM. ∴四边形 BMDN 是平行四边形． O 【变式题】如图，AC 是平行四边形 ABCD 的一条对 角线，BM⊥AC 于 M，DN⊥AC 于 N，四边形 BMDN 是平行四边形吗？说说你的理由． 拓展探究 昨天小李同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片，只剩下如图所示部分，他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来? 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢 ( A，B，C 为三顶点，即找出第四个顶点 D )？ A B C D A B C 方法一依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 方法一： D A B C 方法二依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 方法二： D O A B C 方法三依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 方法三： 1. 根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是( ) A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线相等 D. 两组对边分别平行 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O. 如果 AC = 8 cm，BD = 10 cm， 那么当 AO =____cm，BO =___cm 时， 四边形 ABCD 是平行四边形. B O D A C C 4 5 练一练 观看下面视频，对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么? 平行四边形 点击视频 开始播放 → 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知：四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 又∵∠A = ∠C，∠B = ∠D， ∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°， ∴2∠A + 2∠B = 360°， 即∠A +∠B = 180°. ∴ AD∥BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 同理得 AB∥CD. 证明