17.3.1 一次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

17.3 一次函数 第17章 函数及其图象 1.一次函数 优翼八下数学教学课件（HS） 情景引入 点击视频 开始播放 → 导入新课 如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数表达式吗？ y = x y = 2x y = 4x y = x 在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子? 一次函数与正比例函数 新课讲授 (2) 你能写出 y 与 x 之间的关系吗？ y = 3 + 0.5x 情景一：某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克，弹簧长度 y 增加 0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg，2 kg，3 kg，4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 情景二：某辆汽车油箱中原有油 60 L，汽车每行驶50 km 耗油 6 L. (1) 完成下表： 汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量 y/L 60 54 48 42 36 30 (2) 你能写出上表中 y 与 x 的关系式吗? y = 60－0.12x 上面的两个函数关系式： (1) y = 3 + 0.5x； (2) y = 60－0.12x. 上述函数的关系都是用自变量的一次整式表示的， 我们称它们为称为一次函数. 它的一般形式是：y = kx + b ( k，b 为常数，k 不等于 0) . 特别地， 当 b = 0 时，一次函数 y = kx （k 为常数， k ≠ 0） 也叫作正比例函数. 大家讨论一下，这两个函数关系式有什么特征? 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx； (6) y＝8x2＋x(1－8x). 解：(1) 是一次函数，不是正比例函数； (2) 不是一次函数，也不是正比例函数； (3) 是一次函数，也是正比例函数； (4) 是一次函数，也是正比例函数； (5) 不是一次函数，也不是正比例函数； (6) 是一次函数，也是正比例函数． 方法总结 1.判定一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 典例精析 例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间的关系； 解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得 y = πx2， y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数. （2）圆的面积 y (cm2 ) 与它的半径 x (cm) 之间的关系. 解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水， 因而 y = 15 + 5x. y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. (3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3. 例2 已知函数 (1) 若它是一次函数，求 m 的值； 解：∵ 是一次函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0. ∴ m＝±5 且 m≠5. ∴ m＝－5. ∴ 当 m＝－5 时，函数 是一次函数． 解：∵ 是正比例函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0. ∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1. 这样的 m 不存在， ∴ 不可能是正比例函数. 【方法总结】若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；当 k ≠ 0，且 b＝0