第18章 勾股定理 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

小结与复习 第18章 勾股定理 优翼八下数学教学课件（HS） 1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c， 那么 a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 2. 勾股定理的应用条件 一、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形： a2 = c2 - b2，b2 = c2 - a2， A B C c a b 要点梳理 二、勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 2. 勾股数 A B C c a b 例1 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于 D，AC = 20，BC = 15. （1）求 AB 的长；（2）求 BD 的长． 解:（1）在 Rt△ABC 中，∵∠ACB = 90°， （2）方法一：∵ S△ABC = AC•BC = AB•CD， ∴ 20×15 = 25CD，解得 CD = 12． ∴ 在 Rt△BCD 中， 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 方法二：设 BD = x，则 AD = 25 - x. 解得 x = 9. 即BD = 9. 方法总结 对于类似本题的模型，若已知两直角边求斜边上的高，常需结合面积的两种表示方法来求解；若是同本题 (2) 中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解. 针对训练 1. Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 　 （　 ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算 A 3. 一直角三角形的三边长分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为________. 2. 如图，∠C =∠ABD = 90°，AC = 4，BC = 3，BD = 12，则 AD 的长为____． 13 或 5 13 4. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm， c = 10 cm，求△ABC 的面积. 解：∵ a + b = 14， ∴ (a + b)2 = 196. 又∵ a2 + b2 = c2 = 100， ∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96． ∴ △ABC 的面积为 ab = 24． 例2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：如图，设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺． 在 Rt△ABC 中，BC = 5 尺， 由勾股定理得 BC2 + AC2 = AB2, 即 52 + x2 = (x + 1)2， 25 + x2 = x2 + 2x + 1， 2x = 24， ∴ x = 12，x + 1 = 13. 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺. D B C A 例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解析：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方式： ①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BCC1B1 面；③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面，把三种方式分别展开成平面图形如下： 解： 在 Rt△ABC1 中，  在 Rt△ACC1 中，  在 Rt△AB1C1 中， ∴沿路径走路线最短，最短路线长为5. 化折为直：长方体中求表面上两点之间的最短路径，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，路径最短. 方法总结 针对训练 5. 现有一长 5 米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是 3 米，则梯子可以到达建筑物的高度是____米． 4 在 Rt△AOB 中，OA＝2，OB＝DC＝1.4， ∴ AB2＝22－1.42＝2.04，解得