18.1 第1课时 勾股定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

18.1 勾股定理 第18章 勾股定理 第1课时 勾股定理 优翼八下数学教学课件（HK） 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等. 情景引入 导入新课 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图). 很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解. 勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了它，下面让我们一起通过视频来了解吧！ 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）： A B C 问题1 试问正方形 A、B、C 的面积之间有什么样的数量关系？ 勾股定理的认识及验证 新课讲授 A B C 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三角形 三边之间有什么特殊关系？ 6 问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的边长为单位 1)： 这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？ 方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 左图： 右图： 方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形)： 左图： 右图： 你还有其他方法求 C 的面积吗？ 根据前面求出的 C 的面积直接填写下表： A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 思考 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 命题 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方. 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 右边的动图形象地说明了命题 1 的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想吧！ a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. a b c ∵ S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴ S大正方形＝4S三角形＋S小正方形. 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. ∴ a2 + b2 = c2. 证明： ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2 + b2 = c2. a b c 青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 课外链接 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得： 欧几里得证明勾股定理 推荐书目 在我国又称商高定理，在国外则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. （a、b、c 为正数） 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2. 公式变形： 勾股定理 a b c 归纳总结 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 勾2 + 股2 = 弦2 小贴士 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c. (1) 若 a = b = 5，求 c； (2) 若 a = 1，c = 2，求 b. 解：(1)