17.5 一元二次方程的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

17.5 一元二次方程的应用 第17章 一元二次方程 优翼八下数学教学课件（HK） 问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 80 分，第二次月考增长了 10%，第三次月考又增长了 10%，问他第三次数学成绩是多少？ 导入新课 填空： 1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 . 如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元. 探究归纳 7% 4324.5 下降率 = 下降前的量 - 下降后的量 下降前的量 平均变化率问题与一元二次方程 新课讲授 2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元. 下降率x 第一次下降前的量 5000(1 - x) 第一次下降后的量 5000 下降率x 第二次下降后的量 第二次下降前的量 5000(1 - x)(1 - x) 5000(1 - x)2 5000(1 - x) 5000(1 - x)2 例1 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率. 解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得 5 000 (1 - x)2 = 4050， 解方程，得 x1 = 0.1，x2 = 1.9. 根据问题的实际意义，取 x = 0.1， 即甲种药品成本的年平均下降率为10％. 注意 下降率不可为负，且不大于1. 例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为 x.根据题意，得 答：这个增长率为 50%. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950. 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = -3.5 (舍去)，x2 = 0.5. 注意 增长率不可为负，但可以超过 1. 方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 例3 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1 cm）？ 27cm 21cm 几何图形与一元二次方程 分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右 边衬的宽度之比 : . 9 9 解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 9 7 7 7 27cm 21cm 解1：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根合乎实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 27cm 21cm 解2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为 27cm 21cm 在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 方法点拨 例4 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？ 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm². 整理，得 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3