1.4 第1课时 角平分线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 等腰三角形 三角形的证明 线段的垂直平分线 角平分线 直角三角形 三角形三条内角的平分线 角平分线 1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 第1课时 角平分线 八年级下册数学（北师版） 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 情景导入 在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗? 改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗? 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 1 对此你能得出什么结论？动手证一证. C A O B C D E 探究新知 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等). 结论证明 B A D O P E C 1 2 ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠1 =∠2. ∵OP = OP， 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 知识要点 例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段——直接应用 典例精析 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的判定 2 类比探究 它是真命题吗？你能证明吗？ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 逆命题 P A O B C D E 已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. ∴ OP 平分∠AOB. ∵PD = PE ，OP = OP ， 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). 结论证明 B A D O P E C 1 2 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： (1) 位置关系：点在角的内部； (2) 数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识要点 例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F 典例精析 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF， ∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°. 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， A B C D E F ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三 角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半) . 例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F. 求证：点 F 在∠DAE 的平分线上． 证明： 过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M. ∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上， FG⊥AE，FM⊥BC， ∴ FG＝FM. 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC， ∴ FM＝FH. ∴ FG＝FH. ∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上