1.1 第1课时 等腰三角形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 等腰三角形 等边三角形的性质 三角形的证明 等腰三角形的性质 线段的垂直平分线 角平分线 直角三角形 等边三角形的判定及含 30° 角的 直角三角形的性质 等腰三角形的判定与反证法 第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 八年级下册数学（北师版） 2 图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点? 斜拉桥梁 埃及金字塔 体育观看台架 情景导入 问题1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪 8 条基本事实？ 1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短. 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直. 4. 同位角相等，两直线平行. 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8. 三边分别相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定和性质 1 问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？ 依据命题画出几何图形 → 用数学符号语言写出“已知”“求证”→ 最后写出证明过程. 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS). 探究新知 已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)， F E D C B A ∴△ABC≌△DEF (ASA). ∵ BC = EF (已知)， ∴∠C =∠F (等量代换). ∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)， ∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E). 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS). 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 知识要点 等腰三角形的性质及其推论 2 问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一). 问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗? 定理：等腰三角形的两个底角相等. 议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？ 已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC. 求证： ∠B = ∠C. A B C D 证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD. ∵AB = AC，BD = CD，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD (SSS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ 证一证 证一证 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. A B C D 证明： 作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD. ∴△BAD ≌ △CAD (SAS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 ∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD， 想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 由△BAD≌△CAD， 可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD. 又∵∠ADB +∠ADC = 180°， ∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC. 故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线. A B C D 归纳总结 定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 几何语言：如图，在 △ABC 中， ∵ AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角). 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 练一练 1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，