2、等腰三角形讲义2023-2024学年北师大版八年级下册数学

等腰三角形（二） 温故知新 1、知识再现 考点一 ： 角平分线 角平分线的性质:角的平分线上的点到这个角的两边的距高相等 （这里的距离是指点到角的两边垂线段的长 ） 考点二一线段的垂直平分线 (1)定义:经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”. 性质:①垂直平分线垂直且平分线段. ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等. 2、重点题型：角平分线与垂直平分线 经典重现 题型一　角平分线的作图题 例1、．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（　　） A．3 B．10 C．15 D．30 ◆变式练习1： 1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 　 　． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是　 　． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝6，则点D到AB的距离是 　 　． 题型二　角平分线的基本性质 例2、如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． ◆变式练习2： 1．如图，点P为∠ABC角平分线上的一点，D点和E点分别在AB和BC上，且PD＝PE，试探究∠BDP与∠BEP的数量关系，并给予证明． 2．如图已知：△ABC中，AB＝13，BC＝12， （1）当∠ACB＝90°时，求△ABC的面积． （2）在（1）的条件下，若点O为此Rt△ABC内一点且点O到三边的距离相等，作OE、OF、OG分别垂直于AB、AC、BC，求OE的长． （3）若CA＝11，过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PE、PF、PG，且CF+AE+BG＝18，求AF+AE的长． 3．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°． （1）求证：BF平分∠ABE； （2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°； （3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长． 题型三　垂直平分线作图题 例3如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠ACB的平分线交AB于点D，分别以点B，C为圆心，大于C的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F的直线交AB于点G，若∠DCG＝10°，则∠B的度数是 　 　． ◆变式练习3： 1．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　） A．25 B．22 C．19 D．18 2．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为（　　） A．10 B． C． D． 3．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 题型四　垂直平分线基本性质 例4如图，△ABC中，∠BAC＝110°，AB、CD的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF的度数为　 　°． ◆变式练习4： 1、如图，在△ABC的边AB和AC的垂直平分线分别交BC于P、Q，若∠BAC＝100°，则∠PAQ＝　 　；若∠BAC+∠PA