6.3.2 至6.3.4 平面向量的正交分解、加、减、数乘的坐标表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.2-4平面向量的正交分解及坐标表示与向量的加、减、数乘的坐标表示 任务一 ：单位正交分解 【前备知识】平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 【思考1-1】此物理模型中，通常如何进行力的分解? 重力可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1， 垂直于斜面的压力F2 任务一 ：单位正交分解 【思考1-2】类比力的分解，在平面中，如果取相互垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来极大的方便。 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量． 任务一 ：单位正交分解 【思考1-3】在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么，为了表示直角坐标平面内的向量，如何选取基底？ 单位正交基底：设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为称为单位正交基底 O x y 任务二 ：向量的坐标表示 【思考1-4】确定基底后，如何定义向量的坐标？ 平面向量的坐标表示： 对平面内任意一个向量,有且只有一对实数x, y, 使得 给定向量可由实数x, y唯一确定， 把有序数对(x, y)叫做的坐标， 记作:=(x, y). 其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标. O x y M N 任务二 ：向量的坐标表示 【思考1-5】写出下列向量的坐标 （0，1）， （0，0） 【思考1-6】向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系？ 向量的坐标表示是平面向量基本定理的一个特例。 【思考1-7】 , , 若 ，则， 任务二 ：向量的坐标表示 【思考1-8】以为起点作向量，则的坐标与点的坐标有何联系？ 向量坐标与终点的坐标的关系：当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量坐标. x y 任务二 ：向量的坐标表示 【例1】分别用基底表示向量，并求出它们的坐标. 解：由图可知，， 所以. 同理，， ， 可否利用对称写出后三个向量的坐标？ 任务三 ：向量加、减运算的坐标表示 【思考3-1】已知, , 你能得出的坐标吗？ 向量加、减运算的坐标表示：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). 任务三 ：向量加、减运算的坐标表示 【例2】已知求的坐标. 解： 任务三 ：向量加、减运算的坐标表示 【思考3-2】已知, , , 你能得出的坐标吗？ 向量坐标与起点、终点坐标的关系： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 任务三 ：向量加、减运算的坐标表示 【练习】已知, ,3, 求点B的坐标。 任务三 ：向量加、减运算的坐标表示 【例3】如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点的坐标. 解：法一：如图，设顶点的坐标为 所以 所以顶点的坐标为 法二：如图，由向量加法的平行四边形法则可知 而 所以顶点的坐标为 任务四 ：向量数乘运算的坐标表示 【思考4-1】已知你能得出的坐标吗？ 向量数乘运算的坐标表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 任务四 ：向量数乘运算的坐标表示 【例4】已知求的坐标. 向量线性运算的坐标表示：已知，． 则 结 规 律 总 任务五 ：向量共线定理的坐标表示 【思考5-1】已知, , ， 如何用坐标表示的充要条件？ ,, 向量 任务五 ：向量共线定理的坐标表示 【例5】已知且，求. 解：因为，所以0.解得 任务五 ：向量共线定理的坐标表示 【例6】已知判断三点之间的位置关系. 解：因为 又 所以//.又直线，直线有公共点， 所以三点共线. -1 O x y A B C 3 1 1 2 5 4 2 任务五 ：向量共线定理的坐标表示 【例7】设是线段上的一点，点，的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标； 解：(1)如图，由向量的线性运算可知 . 所以，点的坐标是. 若点，的坐标分别为， 结 规 律 总 任务五 ：向量共线定理的坐标表示 【例7】 (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 解：(2)如图，或. 如果，那么 ， 即点的坐标是. 同理，如果， 那么点的坐标是. 任务五 ：向量共线定理的坐标表示 【思考5-2】如图，线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么？ 解： 定比分点坐标公式 任务五 ：向量共线定理的坐标表示 【思考5-3】在三角形ABC中，若, , , , , 则重心G的坐标为？ 解： 若, , , , , 则三角形ABC的重心G 结 规 律 总 $$