1第9章 复数及其四则运算(教材解读)-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 复数及其四则运算 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 实系数一元二次方程并不是总有实数解的，这是因为在实数范围内负数不能进行开平方运算． 在数学的发展史上有一件有意思的事：数学家在研究三次方程求解的过程中，即使最终得到实根，过程中却常常要对一些负数开平方，遇到了难以自圆其说的尴尬；于是，一种被称作为“虚数”的新数于16世纪开始被引入了数学实数与虚数合称为复数； 复数是人类理性思维的演绎成果，它的产生首先是因为数学家解决数学自身问题的需要，在很长的一段时间内，人们并不清楚它与现实世界到底有怎样的联系；后来，数学家建立了复数与向量，即复数与几何的关联，在大学学习力学和电磁学时，会看到复数在其中的重要作用，复数在数学及其他科学领域中也越来越体现出它的重要性；现在，复数已经成为数学工作者与许多领域的科技人员熟练掌握并广泛应用的基本数学工具； 【本章教材目录】 9.1 复数及其四则运算 9.1.1复数的引入与复数的四则运算；9.1.2复数的实部、虚部与共轭； 9.2 复数的几何意义 9.2.1复平面与复数的坐标表示；9.2.2复数的向量表示；9.2.3复数加法的平行四边形法则；9.2.4复数的模 9.3 实系数一元二次方程 9.3.1实数的平方根；9.3.2实数系一元二次方程； *9.4 复数的三角形式 9.4.1复数的三角形式； 9.4.2三角形式下复数的乘除运算；9.4.3三角形式下复数的乘方与开方 【本章内容提要】 复数是我们继自然数、整数、有理数和实数的学习之后，新认识的一种数. 1、复数系与相关概念 （1）虚数单位，满足. （2）复数的代数形式：（）. （3）复数的相等：（）的充要条件是同时为； 复数（）的充要条件是且. （4）复数的实部与虚部：复数（）的实部是，虚部是； 虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虛数.； （5） 复数的共轭：复数（）的共轭复数是； （6）复数的模：复数（）的模是； 复数的模有如下性质：对、、， ，；；；（复数的三角不等式）. 2、复数的四则运算 （1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果：设 ；． （2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果：设， . 本质：化简分式. （3）复数模对乘、除的分配性：复数积（商）的模等于模的积（商）：设 ；（）. 3、复数的坐标表示 （1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虛轴. （2）复数的坐标表示与向量表示：复数（）可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示. （3）复数模的几何意义：复数（）的模等于点与原点的距离，也等于向量的模. （4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量. （5）两复数差的模的几何意义：两复数、差的模是这两个复数在复平面上对应点、之间的距离，即. 4、实系数一元二次方程 给定方程（，），并令为其判别式，则 （1）当时，方程有两个不相等的实根； （2）当时，方程有两个相等的实根（二重根） （3）当时，方程有一对共轭虛根 *5、复数的三角形式 （1）复数的辐角：设复数对应复平面上的点，则以原点为顶点、轴的正半轴为始边、射线为终边的角称为的辐角，记作；满足的辐角称为的辐角主值，记为. （2）复数的三角形式：设复数的模为，辐角为，则，复数的这种表示形式称为它的三角形式.（3）三角形式下复数的乘法与除法公式：给定三角形式的复数与，则 ，（）. （4）三角形式下复数的乘方与开方公式：给定三角形式的复数，则对任何正整数，有：； 的次方根，； 【要点方法解读】 题型001 虚数单位及其规定 （1）虚数单位：它的平方等于，即. （2）虚数单位可以与实数进行加、乘运算：当时， 比如：，，并规定虚数单位与实数间的乘法满足交换律； 化简归纳得到，形如：的数； 【注意】引进虚数单位后，我们就可以求得所有负数的平方根； 【典例】 1、给出下列三个命题：①若，则；②的虚部是；③的实部是；其中真命题的个数为(　　 ) A．0　　　　　 　　　 B．1 C．2 D．3 2、的平方根为______． 【说明】判断与复数有关的命题是否正确的方法：举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答； 题型002 复数的定义与代数表示 形如的数叫复数， 叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，记作； 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示：即：； 【注意】可以称作复数的代数形式； 【