热点新定义：双曲余弦函数 专项训练——2024届高三数学二轮复习

热点新定义：双曲余弦函数 一、单选题 1．（2023·浙江·校联考二模）双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 D．若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则 【答案】B 【分析】对于A，B，直接代入验证即可；对于C，利用奇偶性的定义即可判断；对于D，利用导数的几何意义结合基本不等式及正切函数的性质即可判断. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，， ， 所以，B错误； 对于C，令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲正弦函数是奇函数； 令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲余弦函数是偶函数，C正确； 对于D，令，则， 设，所以， 又因为，所以，D正确. 故选：B 2．（2022下·河北衡水·高三校考阶段练习）双曲余弦函数是高等数学中重要的函数之一.定义在R上的函数的图象关于点对称，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先推出的图象关于点对称，则，再将不等式化为，然后根据导数判断函数的单调性，利用单调性可解得结果. 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 所以，所以， 所以， 所以不等式等价于， 因为 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，， 所以在上单调递增， 又因为的图象连续不断，所以在上单调递增， 所以等价于，得， 所以不等式的解集为. 故选：A 3．（2022上·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，数学上又多了一对与e有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数.关于双曲函数，下列结论不正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】利用新定义分别求出即可判断A； 利用函数的单调性和奇偶性即可判断B； 对因式分解即可判断C； 利用多项式的乘法法则和同底数幂的乘法法则即可判断D. 【详解】A项，，，正确； B项，因为函数为增函数，所以，在上递增，又，所以，即，正确； C项，，正确； D项，，错误. 故选：D. 二、多选题 4．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中为自然对数的底数），则下列判断正确的是（    ） A．为奇函数，为偶函数 B． C．函数在上的最小值为1 D．函数在R上只有一个零点 【答案】ACD 【分析】由函数的奇偶性即可验证A；由题干给的定义式进行化简即可验证B；由基本不等式即可验证C；由题干给的定义式，结合换元法求解零点可得D. 【详解】，定义域为，，所以为奇函数， ，定义域为，，所以为偶函数，故A正确； ，B错误； 因为，当且仅当时，函数在上的最小值为1，C正确； 由题意得： 令，结合C选项可得， 于是由，得，解得或（舍去），于是， 因此函数在上只有一个零点，D正确， 故选：ACD． 5．（2023下·江西吉安·高二统考期末）意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．当与和共有3个交点时， 【答案】AC 【分析】A选项，根据定义计算得到；B选项，利用求导法则计算出答案；C选项，根据函数的奇偶性进行判断；D选项，先根据导函数得到和的单调性和极值最值情况，从而数形结合得到答案. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，的定义域为R，且， 是奇函数，C正确； D选项，的导数为，令，则， 又为增函数，故当时，，当时，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增，且当时，， 当时，， 当与和共有3个交点时，，D错误. 故选：AC. 三、解答题 6．（2024上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求的