3.6 直线和圆的位置关系 讲义 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

圆与直线的位置关系 知识点1.圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可。 知识点2.圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 知识点3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，圆周角是直角所对的弧是半圆，所对弦是直径。 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点4.圆幂定理的推论： （1）相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分成的两端线段乘积相等。 （2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 （3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD 知识点1 切线长定理 例1.如图，、是的两条切线，、是切点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式练习1】如图，的内切圆分别和，，切于点，，，，，的周长为18，则的长为　 　． 【变式练习2】如图，为的直径，点在的延长线上，、分别与相切于点、，若，，则　 　． 【变式练习3】如图，，分别是的切线，，为切点，是的直径，已知，的度数为　 　． 【变式练习4】如图，是外一点，、分别和切于、两点，，，是劣弧上任意一点，过点作的切线，分别交、于点、，求： （1）的周长； （2）的度数． 知识点2 圆幂定理 例2.如图，是的切线，为切点，是割线， 交于、两点， 与直径交于点． 已知，，，那　 　． 【变式练习1】如图，已知中，，，，若以为圆心，为半径的圆交于点，则　 　． 【变式练习2】如图，是的直径，弦，垂足是，是的中点，延长交于，，，则的长是　 　． 知识点3 圆综合----切线证明 例3.如图，点为直径延长线上一点，为圆上一点，于，恰好平分，交于，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的直径． 【变式练习1】如图，为的直径，为延长线上一点，点在上，连接，为半径上一点，，连接并延长交于点，且是的中点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【变式练习2】如图， 是的直径，的角平分线交于点，过点作于，的延长线与的延长线相交于点，的角平分线交于点、交于． （1）求证：与相切； （2）求证：； （3）若，，求线段的长． 【变式练习3】如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由． 【变式练习4】如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长． 中考真题演练： 1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，，求BF的长． 2、如图，点C是以O为圆心，AB为直径的半圆上一动点（不与A，B重合），AB＝8，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，过点D作AB的垂线DH，分别交，CB，AB于点E，F，H，连接OC．记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化． （1）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH； （2）连接OD，当θ＝2∠ADO时，求OH的长． 3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD垂直AB，垂足为D，在AC延长线上取点E，使∠CBE＝∠BAC． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BE＝6，求⊙O的半径OA． 4、如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以线段BC为直径作⊙O交AC于点D，E为AB中点，连接ED，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F． （1）求证：直线ED是⊙O的切线； （2）判断△CDF的形状，并说明理由； （3）如图2，连接OF交⊙O于点P，连接BP交AC于点Q，若BP∥EF，AB＝6，求PQ的长． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$