第04讲 函数构造初步与进阶（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第04讲 函数构造初步与进阶 【人教A版2019】 ·模块一 函数构造初步 ·模块二 函数构造进阶 ·模块三 课后作业 模块一 函数构造初步 1．分离参数法 利用分离参数法解决恒（能）成立问题时，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (1)恒成立问题的常见表达形式如下： 常见表达 解读 对任意x∈(a,b)，f(x)>m恒成立 f(x)min>m 对任意x∈(a,b)，f(x)<m恒成立 f(x)max<m 对任意x∈(a,b)，f(x)>g(x)恒成立 [f(x)-g(x)]min>0 对任意x∈(a,b)，f(x)<g(x)恒成立 [f(x)-g(x)]max<0 (2)存在性问题的常见表达形式如下： 常见表达 解读 存在x∈(a,b)，使得f(x)>m成立 f(x)max>m 存在x∈(a,b)，使得f(x)<m成立 f(x)min<m 存在x∈(a,b)，使得f(x)>g(x)成立 [f(x)-g(x)]max>0 存在x∈(a,b)，使得f(x)<g(x)成立 [f(x)-g(x)]min<0 2．带参求导法 如果无法分离参数，可以考虑利用带参求导法来研究导数问题，对参数或自变量进行分类讨论，对函数进行求导，研究函数的单调性、极值与最值之间的关系，利用导数来求解． 3．构造函数法 (1)利用导数来比较几个数的大小时，如果没有给出具体的函数，通常需要我们构造函数，求导，研究函数的单调性，借助函数的单调性来比较大小. (2)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. 【考点1 分离参数法】 【例1.1】（2023·四川成都·统考一模）若恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【例1.2】（2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023下·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）若在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 带参求导法】 【例2.1】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）当时，不等式在上恒成立，则实数的最大整数解是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2.2】（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【变式2.2】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 【考点3 构造函数法——比较大小】 【例3.1】（2023·全国·高三校联考专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·模拟预测）已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知，则的大小关系正确的是（      ） A． B． C． D． 【考点4 构造函数法——证明不等式】 【例4.1】（2023上·北京·高三北京八十中校考阶段练习）已知函数，. (1)证明：； (2)求函数的单调区间. 【例4.2】（2023上·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数. (1)若为单调递增函数，求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 【变式4.1】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知是函数的导函数． (1)讨论方程的实数解个数； (2)设为函数的两个零点且，证明：． 【变式4.2】（2023上·安徽合肥·高三校考期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； (3)当时，证明. 模块二 函数构造进阶 1．指对函数的构造 (1)含lnx型函数的构造 形如f(x)lnx+g(x)≥0可以考虑变形成，通过构造新函数来处 理. (2)含ex型函数的构造 形如f(x)ex+g(x)≥0可以考虑变形成或者，通过构造新函数或者来处理.