第03讲 极值与最值（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第03讲 极值与最值 【人教A版2019】 ·模块一 极值问题 ·模块二 最值问题 ·模块三 课后作业 模块一 极值问题 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．求可导函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求导函数f'(x)； (3)在原函数的定义域内，求方程f'(x)=0的所有实数根； (4)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数f'(x)的符号变化情况. 【考点1 利用导数求函数的极值】 【例1.1】（2023·河南·统考三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在处得到极大值 B．在处得到极大值 C．在处得到极小值 D．在处得到极小值 【例1.2】（2023下·吉林长春·高二校考阶段练习）已知实数成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于（    ） A．2 B． C． D．1 【变式1.1】（2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考期中）已知函数，若不等式的解集为且，则函数的极小值是（    ） A． B．0 C． D． 【变式1.2】（2023下·广东茂名·高二广东高州中学校考期中）设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【考点2 极值的逆向求参问题】 【例2.1】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023下·河南洛阳·高二校考阶段练习）若函数在处有极值10，则（    ） A． B． C．6 D． 【变式2.1】（2023下·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）函数在上存在极大值和极小值，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点3 函数（导函数）图象与极值的关系】 【例3.1】（2023上·黑龙江·高三校考阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ）    A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【例3.2】（2023下·北京·高二北京五十五中校考期中）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数.其中正确的判断是（    ） A．① B．② C．②③ D．①② 【变式3.1】（2023下·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）下图是函数的导函数的图象，给出下列命题: ①是函数的极值点； ②1是函数的极值点； ③在处切线的斜率小于零； ④在区间上单调递增. 则正确的命题序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【变式3.2】（2023下·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数在区间内单调递增；②函数在区间内单调递减；③函数在区间内单调递增；④当时，函数有极小值；⑤当时，函数有极大值，则上述判断中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③ 模块二 最值问题 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．函数最值的求解思路 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； (2)将函数y=f(x)的各极值与端