9.4矩形、菱形、正方形（矩形讲义） 2023—2024学年苏科版数学八年级下册

9.4矩形、菱形、正方形 （矩形讲义） 教学目的： 1.掌握矩形的性质； 2.掌握矩形的判定证明； 教学重难点： 1.掌握矩形的性质； 2.掌握矩形的判定证明； 知识梳理 【知识点一】矩形的性质 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。 【推论】 （1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。 【知识点二】矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 典型例题 【例1】如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，求∠BAE的度数. 【例4】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE． (1) 求证：四边形ABCD是矩形； (2) 若∠OAE＝15°， ①求证：DA＝DO＝DE； ②直接写出∠DOE的度数． 举一反三 题型一：矩形的性质 【变式1】下列命题是假命题的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．矩形的对边相等 C．矩形的对角线互相平分 D．矩形的对角线互相垂直 【变式2】若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（    ） A．任意四边形 B．对角线相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形 【变式3】下列性质中矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 题型二：矩形的判定 【变式1】在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．， 【变式2】如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件） 题型三：利用平移的性质求解 【变式1】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【变式2】如图，矩形中，E为的中点，F在上，平分，若，，则线段的长为 _____． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且CD＝DE． (1)求证：AC＝AE； (2)若DE＝6，AD＝8，求△BOC的周长． 题型四：矩形的判定证明 【变式1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝1． (1) 求证：平行四边形ABCD是矩形； (2) 求平行四边形ABCD的面积． 【变式2】如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数． 【变式3】如图，平行四边形中，点是与的交点，过点的直线与，的延长线分别交于点，． (1) 求证：； (2) 连接，，则与满足什么条件时四边形是矩形？请说明理由． 小试牛刀 一、选择题（共5题） 1.关于矩形，下列说法错误的是　　 A．四个角相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 2.如图，在矩形中，对角线，交于点O.若，则的度数为（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 3.如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在矩形ABCD