专题05 三角形的证明50道压轴题型专训（10大题型）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题05 三角形的证明50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 等腰三角形的性质与判定 题型二 等边三角形的性质与判定 题型三 含30度角的直角三角形 题型四 等腰三角形的存在性问题 题型五 直角三角形的存在性问题 题型六 勾股定理的压轴题 题型七 垂直平分线压轴题 题型八 角平分线压轴题 题型九 三角形中的最值问题 题型十 三角形的证明综合题型 【经典例题一 等腰三角形的性质与判定】 1．（2023上·云南昆明·八年级统考期末）如图所示，和都是等腰直角三角形，是斜边，点C是直线上的一动点，点C不与D、E重合，连接． (1)在图①中，当点C在D、E两点之间时，求证：； (2)在图②中，当点C在的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请你猜想此时的数量关系，并说明理由． 2．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，已知等腰中，，，是边上一个动点，将沿折叠得到，与交于点，再将边折叠到与重合，折痕为，点在射线上． (1)如图，当时，求证：； (2)当时，的大小为______ ． 3．（2024下·广东广州·八年级统考开学考试）如图，在中，过点A作，交于点D． (1)若，求的长； (2)在（1）的条件下，，求的面积； 4．（2023上·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，且，． (1)求点的坐标； (2)如图，若交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，作轴于点，请探究线段，，的数量关系，并说明理由； (3)如图，若在点处有一个等腰，且，，连接，点为的中点，试猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并证明你的结论． 5．（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级校考开学考试）已知，，，，于． (1)如图，求证：； (2)如图，作的平分线交于，求证：； (3)如图，在（）的条件下，点在上，连接、，且，在上取点，使得，连接，作于，若，，求的长度． 【经典例题二 等边三角形的性质与判定】 6．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考阶段练习）数学课上，老师出示了如下框中的题目． 如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： 【猜想结论】 （1）当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“”或“”）． 【类比探究】 （2）如图1，当点E为边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成证明过程． 【拓展应用】 （3）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若等边三角形的边长为2，，求的长（请自己画图，并完成解答）． 7．（2024上·海南海口·八年级统考期末）如图1，在中，，点是边上一点（不与点，重合），以为边在的右侧作，使，，连接．设，．    (1)求证：； (2)探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)若，求证：． 8．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）在等边三角形中，已知点在直线上，点在直线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“>”“<”或“=”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当为边上任意一点时，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展结论，设计新题】 若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 9．（2024上·广东东莞·八年级可园中学校考期末）如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F． (1)如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______； (2)如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由； (3)如图③，若点G和点B关于对称，延接，若，请直接写出的值． 10．（2024上·浙江金华·八年级统考期末）已知正三角形的边长为4，为内部（含边上）的一点，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)如图1，点在边上； ①当为中点时，判断点与点G是否重合，并说明理由； ②当时，求出的长； (2)如图2，点在内部，且在线段上，连结，求的取值范围． 【经典例题三 含30度角的直角三角形】 11．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图1，在中，，点为边上一点，且，点为边上一点，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，过点作于点，若，，求的长． 12．（2023上·山东威海·八年级校联考期末）在中，，点为的中点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若为线