微专题向量恒等式（以九省联考为例）-2024届高三数学二轮复习

​向量恒等式——以九省联考为例 【真题重现】设双曲线C：左、右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，，则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 图1 解析：如图1，易知四边形AF1BF2为平行四边形，所以，， 因为，，所以，， 由极化恒等式可知，所以， 所以. 由中线长定理可得， 所以，整理得c2=7a2，所以. 平面向量题历年高考都有，多出现在选择、填空的小题中，难度不大，原因在于向量在数学中多作为工具的存在。而如果掌握了一些向量恒等式就可以极大减少计算量，提高做题速度与正确率。 几个重要的向量恒等式 【恒等式1】回路恒等式 证明： 【恒等式2】系数互换恒等式 若向量a，b满足，则 证明：等式两边同时平方，易证成立，具体证明过程略. 【恒等式3】分点恒等式 如图2，若，则 图2 证明： 【恒等式4】向量数乘余弦定理 在△ABC中， 证明：由余弦定理，得 【恒等式5】极化恒等式 证明：右边平方展开整理后即可证明，具体过程略. 推论：在△ABC中，当M为BC的中点时，，. 证明： (1) (2) 得 【恒等式6】向量中值定理 证明：右边平方展开整理后即可证明，具体过程略. 推论：在△ABC中，当M为BC的中点时，. 证明： (1) (2) 得 即 【恒等式7】矩形定理 如图3，已知点P是矩形ABCD所在平面上任意一点，O为对角线的交点，则 图3 证明：由极化恒等式得 所以 由向量中值定理推论可得 所以 【恒等式8】平行四边形定理 如图4，已知点P是平行四边形ABCD所在平面上任意一点，O为对角线的交点，则 图4 证明：由向量中值定理推论可得 再由极化恒等式，得 【恒等式9】对角线向量定理 如图5，在四边形ABCD中， 图5 证明： 【恒等式10】奔驰定理 已知O是△ABC内一点，△OAB，△OAC，△OBC的面积分别为，，，则. 图6 证明：如图7，延长AO，交BC于点D， 图7 因为 在△OBC中， 所以 即 推论1：若O为△ABC的重心，则，. （条件与结论可以互推） 证明：中线分三角形两部分面积相等，进而重心与三角形三顶点连线分三角形三部分面积相等。 如图7，延长AO，交BC于点D，由重心的性质可知 在△OBC中， 推论2：若O为△ABC的内心，则，.（条件与结论可以互推） 证明：三角形内心到三边距离相等，则内心与三角形三顶点连线分三角形三部分面积之比等于三边边长之比。 如图8，延长CO交AB于F，延长BO交AC于E，过A分别作AN∥CO交CO延长线于M，AM∥BO交BO延长线于N. 图8 因为O是内心，所以 ， 易知四边形AMON为平行四边形，所以 因为AM∥BO，AN∥CO，所以 ， 所以 所以 所以 推论3：若O为△ABC的外心，则，.（条件与结论可以互推） 证明：如图8，在△ABC外接圆中，的圆心角∠BOC等于二倍的圆周角A，即∠BOC=2A， 图9 又 同理 所以 进而 推论4：若O为△ABC的外心，则，.（条件与结论可以互推） 证明：如图10，延长CO交边AB于点D. 图10 易得 ， 故 又 所以 同理可得 根据奔驰定理得到 学科网（北京）股份有限公司 $$